풍문고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

풍문고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용입니다. 미분의 기본 성질을 적분으로 정의된 함수나 넓이 조건에 연결하는 구성이 나타납니다.

초반에는 롤의 정리, 극소의 판별, 부정적분의 정의처럼 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 실근의 개수를 그래프의 교점으로 바꾸거나, 변화율을 시간에 대한 함수로 표현해야 합니다. 단원별 공식만 외우기보다 조건이 어떤 그래프나 부호 관계를 뜻하는지 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형이 객관식 사이에 섞여 있다는 점도 살펴보세요. 자동 분류 기준 어려움인 객관식을 모두 마친 뒤 서술·단답형을 시작하면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다. 시험 전체를 훑으며 계산형, 개념 판단형, 여러 조건을 연결하는 유형을 구별해 두는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 확보와 객관식의 조건 해석

쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 기본형이라도 극소와 구간 끝점의 구별, 부정적분을 미분으로 확인하는 절차, 위치 변화량과 이동 거리의 차이는 정확해야 합니다. 초반 검산은 긴 재계산보다 묻는 개념과 계산 방법이 일치하는지 확인하는 데 집중하세요.

보통인 6~12번에서는 개념을 식으로 옮기는 단계가 늘어납니다. 평균값 정리에서 등호 성립을 따지는 10번, 역함수 존재와 정적분을 연결하는 11번처럼 계산 전 논리가 필요한 문제도 있습니다. 서술·단답형에서는 판단 근거나 적분상수를 결정한 조건을 짧게 남기는 습관이 유용합니다.

어려움은 13·14번에서 시작해 17·18번과 마지막 22번에 배치됩니다. 중간의 보통 문항으로 돌아갈 수 있는 구성입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 다만 조건 해석이 길어질 때 다른 문항으로 이동할 지점을 미리 정하는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분을 중심으로 미분 조건을 연결

정적분에서는 절댓값을 포함한 계산부터 대칭구간의 적분, 적분으로 정의된 함수의 극한과 극대·극소까지 다룹니다. 같은 단원 안에서도 직접 적분할 문제와 먼저 미분할 문제를 구별해야 합니다. 변수가 적분의 위끝이나 아래끝에 등장하면 미분 후 어떤 함수가 나타나는지 먼저 확인하세요.

도함수의 활용은 그래프의 극값, 방정식의 실근 개수, 넓이의 변화율, 평균값 정리, 감소 조건으로 이어집니다. 도함수의 부호가 각각 어떤 의미를 갖는지 정리하면 여러 유형을 연결할 수 있습니다. 특히 등호가 허용되는 경계와 구간 전체에서 성립해야 하는 조건을 구별하세요.

정적분의 활용에서는 넓이와 운동을 구별하는 것이 출발점입니다. 9번은 운동 방향 변화로 매개변수의 범위를 정하고, 16번은 넓이의 차를 부호 있는 정적분으로 연결합니다. 미분계수와도함수는 출제 수가 적지만 18번이 어려움에 속하므로, 구간별 함수의 연결점 검토를 생략해서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 중심 단원은 변화

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 줄었지만 쉬움도 줄고 보통이 늘었습니다. 따라서 어려움의 감소만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기보다, 중간 단계 문항을 안정적으로 처리할 수 있는지를 살펴보는 편이 좋습니다.

작년에는 도함수의활용이 13문항으로 가장 많았고 정적분은 3문항이었습니다. 올해는 도함수의활용이 6문항, 정적분이 8문항으로 중심이 바뀌었습니다. 정적분의활용은 두 해 모두 5문항이므로 넓이와 운동을 유지하면서 적분 등식의 미분, 적분함수의 성질을 보완하세요.

작년의 어려움은 11·14·17·18·21·22번이었고 올해는 13·14·17·18·22번입니다. 작년에는 마지막 서술·단답형인 22번도 어려움이었지만 올해 어려움은 모두 객관식입니다. 다음 시험을 준비할 때 형식이나 번호만으로 난도를 예상하지 말고, 개념을 식으로 바꾸는 과정과 조건을 검증하는 과정을 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 이용자 투표의 순위가 아니라 조건을 연결하는 단계가 많은 점을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 구간과 부호를 정해야 합니다. 풀이를 복습할 때에는 결과를 외우기보다 어느 조건이 함수 형태를 정하고 어느 조건이 후보를 제외하는지 구별해 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 접근법이 보이는 보통 문항을 확보하세요. 13·14번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 15·16번으로 이동하는 연습이 좋습니다. 17·18번 뒤에도 19~21번의 보통 문항이 있으므로 마지막 번호까지 먼저 확인하고 남은 시간을 배분하세요.

서술·단답형은 풀이의 출발 근거를 짧게 남기세요. 16번은 넓이 차와 정적분의 연결, 19번은 도함수의 부호, 20번은 미분계수 형태로의 변환이 핵심입니다. 21번은 미분으로 식을 단순화한 뒤 원래 조건으로 돌아와 적분상수를 정하는 시간을 확보해야 합니다.

검토할 때에는 9번의 양의 시각과 부호 변화, 12번의 부호 선택, 14·21번의 나눗셈에서 제외된 점을 확인하세요. 15번에서는 적분 변수와 함수의 입력을 구별하고, 18번은 경계의 좌우 조건을 다시 살피세요. 22번은 모든 입력에 대한 조건이므로 끝점만 대입하고 검토를 끝내지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 롤의 정리와 평균값 정리의 가정을 정리하고 등호 성립까지 설명해 보세요. 단조성과 도함수의 부호를 연결하는 연습을 이어가세요(1·2·10·19번 대비).
2. 부정적분은 미분으로 검산하고 곱의 미분 형태를 찾아보세요. 적분상수와 제곱 관계의 부호를 정하는 조건을 따로 표시하세요(3·12번 대비).
3. 넓이, 위치 변화량, 이동 거리를 구별하세요. 곡선의 상하 관계와 속도의 부호를 먼저 그린 뒤 적분식을 세우세요(4·5·9·16번 대비).
4. 절댓값 적분과 대칭구간 적분을 연습하세요. 부호가 바뀌는 지점과 홀짝성을 먼저 확인해 불필요한 계산을 줄이세요(8·11·15·21번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수는 미분 후 성질을 읽는 연습을 하세요. 극값의 부호 변화와 미분계수의 정의까지 연결해 보세요(14·17·20·21번 대비).
6. 구간을 넘는 함수 관계와 절댓값 조건을 종합하세요. 연결점의 좌우 조건, 역함수의 구간 대응, 모든 입력에서 성립하는지의 검증을 차례로 확인하세요(13·18·22번 대비).