잠실여자고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

잠실여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠실여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극대·극소와 속도에서 출발해 넓이, 이동 거리, 적분으로 주어진 함수의 조건까지 연결됩니다.

기본 문항에서도 무엇을 계산하는지 구별해야 합니다. 높이를 미분한 속도와 속력을 혼동하지 않아야 하고, 정적분과 넓이는 함수의 부호에 따라 다르게 처리해야 합니다. 적분 공식을 암기한 뒤 곧바로 대입하기보다 구간의 의미를 먼저 표시하는 습관이 필요합니다.

후반에는 단순히 도함수를 구하는 것으로 풀이가 끝나지 않습니다. 절댓값 방정식을 교점 문제로 바꾸거나, 최솟값으로 정의된 함수의 식이 바뀌는 지점을 찾아야 합니다. 서술·단답형은 판단 근거를 남길 수 있도록 경우를 나눈 이유와 경계 조건을 짧게 정리하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석에 대비

쉬움으로 분류된 1·2번은 정적분 계산과 높이 함수의 미분을 확인합니다. 보통 문항이 이어지는 3~11번에서는 극값, 넓이, 함수 복원, 운동 상황을 다룹니다. 유형의 출발점이 비교적 분명하더라도 적분상수나 시간의 기준을 빠뜨리면 계산을 다시 해야 합니다.

12·13번에서 그래프와 조건의 결합이 본격적으로 등장하며, 14번은 보통으로 분류되어 있습니다. 앞 문항에서 막혔다면 14번의 곱의 미분 구조를 확인하고 넘어가세요. 서술·단답형도 18번은 보통이므로 번호순으로만 풀기보다 전체를 살펴 접근 가능한 문항을 확보하는 편이 좋습니다.

이 분포는 자동 분류 기준입니다. 실제 체감 난도는 적분 계산의 숙련도와 그래프를 해석하는 능력에 따라 달라질 수 있습니다. 보통 문항을 정확히 처리하는 연습과 어려움 문항의 조건을 나누는 연습을 구분하면 복습의 우선순위를 잡기 쉽습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 연결

도함수의활용은 가장 많은 문항을 차지하며 분석상 고난도 문항도 집중되어 있습니다. 3번의 극값 계산을 출발점으로 13·16번의 교점 개수, 15번의 구간 전체에서 성립하는 부등식, 20번의 최솟값 함수로 확장됩니다. 도함수의 영점만 찾지 말고 부호표가 원래 함수의 모양을 어떻게 결정하는지 설명해 보세요.

정적분은 5·7번의 성질과 대칭성에서 14번의 곱의 미분, 19·21번의 적분식 미분으로 이어집니다. 정적분의활용에서는 4·9번의 넓이와 10·11·18번의 운동을 구별해야 합니다. 17번은 그래프의 평행이동 관계와 증가 조건을 함께 사용하므로 적분값 계산 뒤 부호 확인이 필요합니다.

부정적분은 8번에 해당하지만 함수 복원이라는 사고는 다른 문항에도 쓰입니다. 구간별 도함수를 적분할 때 상수를 따로 두고 연속 조건으로 연결하는 과정을 익혀 두세요. 단원별 공식과 함께 그 공식을 적용할 수 있는 조건까지 묶어 정리하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 서술·단답 확대

작년과 올해 모두 수학II 자료입니다. 자동 분류 기준으로 어려움 문항은 줄고 보통 문항은 늘었습니다. 다만 서술·단답형이 확대되어, 분류상 어려움의 감소만으로 풀이 과정 정리의 부담까지 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 작년에도 가장 많은 단원이었고 올해도 중심입니다. 겹치는 단원 중 정적분은 작년 4문항에서 올해 6문항으로 늘었고, 정적분의활용은 두 해 모두 6문항입니다. 미분 활용의 기본기를 유지하면서 정적분의 성질과 적분식을 미분하는 유형을 함께 준비할 근거가 됩니다.

작년에는 어려움 문항이 6~10번부터 나타나 12~20번까지 이어졌습니다. 올해는 첫 어려움 문항이 12번에 등장하고 서술·단답형 후반까지 배치됩니다. 따라서 올해 자료로 연습할 때는 초반 기본형의 정확도를 높이고, 뒤쪽에 남길 풀이 시간을 확보하는 전략을 점검하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 계산하기 전에 함수의 형태나 경우를 제한하는 단계가 있습니다. 풀이가 막혔다면 추가 전개보다 대칭성, 극값의 높이, 다항식의 차수처럼 먼저 확정할 정보를 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~11번의 기본형을 정확히 처리하되, 설명이 길어진 문항에는 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 12·13번에서 시간이 늘어지면 14번을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 서술·단답형에서도 18번의 위치와 거리 계산을 확인한 뒤 조건 해석이 복잡한 문항으로 돌아가는 연습을 권합니다.

운동 문제는 시간의 기준과 구하는 양을 적어 두세요. 10번은 위치 차의 절댓값을 전체 시간 범위에서 비교해야 하며, 11번은 두 자동차가 기준 지점을 지난 시각이 다릅니다. 18번은 다시 원점에 도착한 사실만으로 이동 거리를 판단하지 말고 중간에 방향을 바꾸었는지 확인해야 합니다.

마지막 검토에서는 조건별로 확인 대상을 좁히세요. 8번은 구간별 적분상수와 연속성, 12번은 접합점에서의 미분가능성, 15번은 주어진 범위 전체에서의 부등식 성립이 중요합니다. 17번의 넓이는 함수의 부호를 확인해야 하고, 19·21번은 적분식을 미분하기 전의 조건이 유지되는지 원식에 돌아가 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산과 속도 해석부터 정리하세요. 원시함수의 양 끝 대입과 높이 함수의 미분에서 부호와 단위를 점검하세요(1·2번 대비).
2. 대칭성, 적분 구간의 분할, 적분상수 결정을 묶어 연습하세요. 구간별 함수는 연속 조건으로 연결하고 절댓값은 부호가 바뀌는 곳에서 나누세요(5·7·8번 대비).
3. 넓이와 운동 문제를 구별해 풀어 보세요. 위아래 함수, 출발 시각, 방향 전환 시각을 먼저 표시하고 필요한 적분식을 세우세요(4·6·9·10·11·18번 대비).
4. 도함수의 부호표를 실제 그래프로 옮기세요. 극값 계산에서 시작해 절댓값 방정식의 교점 개수와 구간 전체의 최솟값으로 확장하세요(3·12·13·15·16번 대비).
5. 곱의 미분 형태와 적분 등식을 미분하는 유형을 연습하세요. 적분 구간의 끝을 대입해 얻는 조건과 다항식의 차수 비교를 함께 정리하세요(14·19·21번 대비).
6. 여러 조건이 결합된 함수 해석을 마무리하세요. 평행이동한 구간의 적분 관계는 부호 확인까지, 최솟값 함수는 연결점의 좌우 기울기 확인까지 설명해 보세요(17·20번 대비).