매탄고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

매탄고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 부등식의 해석과 좌표평면에서의 거리·위치 관계가 중심을 이룹니다.

초반에는 원점 대칭, 절댓값 부등식, 내분점, 수직인 직선처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 매개변수가 포함된 직선의 성질이나 항상 성립하는 부등식처럼 조건을 분류하는 과정이 필요합니다. 단순히 공식을 아는 데서 그치지 않고 어느 조건에 적용할지 판단해야 합니다.

후반의 부담은 여러 개념을 연결하는 데 있습니다. 원을 이동한 뒤 두 점 사이 거리의 범위를 해석하거나, 무게중심의 좌표를 통해 새로운 자취를 얻습니다. 그림으로 위치 관계를 확인하고 필요한 식만 세우는 습관이 긴 계산을 줄이는 데 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움 문항은 1~6번과 9번입니다. 앞부분에서는 공식의 부호와 적용 대상을 정확하게 확인하는 것이 중요합니다. 특히 원과 직선의 교점을 다루는 6번은 서로 다른 두 점에서 만난다는 조건을 엄격한 부등호로 표현해야 하고, 9번은 반현과 현 전체의 길이를 구별해야 합니다.

보통 문항은 부등식의 해에서 계수 관계를 복원하거나, 직선의 평행·일치와 공점 조건을 나누는 유형입니다. 어려움 문항을 만나기 전에도 예외 처리를 요구하므로 계산만 빠르게 진행하면 조건을 놓칠 수 있습니다. 11번에서는 최고차항의 계수가 사라지는 경우부터 분리하세요.

12번에서 어려움이 등장한 뒤 13번은 보통이며, 18번 서술·단답형도 보통입니다. 뒤쪽을 순서대로만 풀기보다 풀이 구조가 보이는 문제를 먼저 확보하는 운영이 적절합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 성적을 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 거리 조건의 연결

가장 많은 원의방정식은 지름의 양 끝점으로 원을 정하는 기본형부터 접선, 선분과 원의 교점, 매개변수 전체에 대한 위치 관계까지 이어집니다. 중심과 반지름을 먼저 정리하고 중심에서 직선까지의 거리와 비교하는 흐름을 익히세요. 다만 대상이 선분이면 수선의 발이 선분 안에 있는지 확인하는 단계가 추가됩니다.

여러가지부등식에서는 절댓값, 연립이차부등식, 주어진 해의 역해석, 항상 성립하는 조건을 다룹니다. 원의방정식과 별개로 보일 수 있지만, 끝점 포함 여부와 모든 값에 대한 조건을 읽는 능력은 17번에도 이어집니다. 해를 수직선에 표시하고 경계를 따로 검토하는 연습이 유용합니다.

직선의방정식과 도형의이동, 평면좌표는 후반의 도형 해석을 뒷받침합니다. 정점과 기울기를 분리해서 읽고, 대칭이동 뒤에도 보존되는 길이를 확인하며, 자취의 방정식과 이동 범위를 함께 구해야 합니다. 단원 이름에 따라 풀이를 고정하기보다 거리나 좌표 관계라는 공통 구조를 찾아보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 평면좌표 중심에서 원의방정식 중심으로

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었습니다. 총 문항도 늘었으므로 어려움 개수만 보기보다, 기본형을 처리한 뒤 조건을 해석해야 하는 문항이 더 많아졌다는 점을 학습 계획에 반영하는 것이 좋습니다.

작년은 평면좌표가 가장 많았고 여러가지부등식이 6문항이었습니다. 올해는 평면좌표가 2문항, 여러가지부등식이 4문항이며 원의방정식이 가장 많습니다. 직선의방정식은 두 해 모두 4문항입니다. 주어진 분류상 단원 구성의 차이가 크므로 작년의 높은 비중만 따라 공부하면 올해의 원과 이동 문제를 충분히 준비하기 어렵습니다.

작년의 어려움 문항은 13·14·15·16·18번이고 올해는 12·14·15·16·17·19번입니다. 두 해 모두 후반에 몰리지만 올해는 첫 등장 위치가 앞당겨졌습니다. 다음 대비에서는 직선과 좌표의 기본기를 유지하면서 원의 접선, 선분과 원의 위치 관계, 자취 범위의 해석으로 학습을 확장하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 도형을 식으로 바꾼 뒤에도 원래의 범위와 제외 조건으로 돌아와야 한다는 점입니다. 풀이 마지막에 후보나 극값이 실제 가능한지 한 문장으로 설명하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확하게 처리하고, 중반에서는 경우를 나누는 기준부터 적으세요. 12번에서 도형의 최댓값·최솟값 해석이 길어지면 표시하고 13번과 18번처럼 접근 가능한 문제를 확인하세요. 전체 시험 시간이 자료에 제시되지 않았으므로 특정 분 단위로 고정하기보다 연습 중 문항별 체류 시간을 기록해 조절하는 것이 좋습니다.

18번은 대칭이동한 직선의 식, 두 직선이 평행한 이유, 거리를 계산하는 근거가 이어지도록 작성하세요. 절편의 차이를 곧바로 직선 사이의 거리로 사용해서는 안 됩니다. 한 직선 위의 점을 잡고 다른 직선까지의 수직거리를 구한다는 설명을 남기면 계산의 의미가 분명해집니다.

검토할 때는 부등호와 도형의 범위를 우선 보세요. 7번은 두 해의 공통부분과 정수의 경계, 11번은 이차항이 사라지는 경우, 15번은 선분 안의 수선의 발, 16번은 자취에 남는 범위가 중요합니다. 17번은 제외된 끝점과 허용되는 경계값을 구별하고, 19번은 삼각형이 성립하는 점인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원점 대칭, 내분점, 수직인 직선, 지름으로 정한 원의 기본 공식을 복습하세요. 좌표 부호와 내분비의 대응을 말로 설명하며 풀어 보세요(1·3·4·5번 대비).
2. 절댓값과 이차부등식의 해를 수직선에 표시하세요. 연립 조건에서는 공통부분을 구하고, 주어진 해로 계수를 복원할 때 최고차항의 부호를 먼저 정하세요(2·7·10·11번 대비).
3. 매개변수가 있는 직선을 정점과 방향으로 나누어 읽으세요. 평행·일치·공점의 경우를 구분하고 빠진 경우가 없는지 점검하세요(8·13번 대비).
4. 중심과 반지름, 점과 직선 사이의 거리를 연결하세요. 접선 조건과 현의 길이를 익힌 다음 직선과 선분의 차이까지 확장하세요(6·9·14·15번 대비).
5. 대칭·평행이동과 무게중심을 좌표로 나타내세요. 이동 뒤의 중심이나 자취 방정식뿐 아니라 실제 점의 범위와 길이의 보존도 확인하세요(12·16·18번 대비).
6. 거리 비로 얻는 자취와 매개변수 전체에 대한 조건을 연습하세요. 경계값의 도달 여부와 제외된 점을 따로 적고 극값이 가능한 이유를 설명하세요(17·19번 대비).