매탄고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

매탄고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도형의이동, 원의방정식, 명제, 집합, 절대부등식입니다. 좌표평면의 도형을 식으로 표현하는 능력과 집합·논리의 조건을 구별하는 능력을 함께 확인합니다.

초반에는 대칭이동의 기본 규칙, 서로소, 조건의 부정, 축에 접하는 원처럼 개념을 바로 적용할 수 있는 문제가 있습니다. 다만 필요조건의 방향이나 원을 나타내기 위한 조건을 부정확하게 외우면 짧은 문제에서도 실수가 생깁니다. 기본형을 공부할 때 공식뿐 아니라 적용 조건을 함께 말해 보는 연습이 필요합니다.

후반에는 하나의 조건을 처리한 결과가 다음 단계의 출발점이 됩니다. 대칭이동한 직선을 구한 뒤 넓이를 해석하거나, 이동한 원의 접선 조건과 두 원의 교점 조건을 결합합니다. 서술·단답형에서는 계산 결과뿐 아니라 거리의 최대가 되는 이유와 등호 성립의 가능성을 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 기본형을 확보하고 후반 조건을 연결

쉬움 문항은 초반에 놓여 있지만 모두 단순 대입인 것은 아닙니다. 6번은 필요조건을 진리집합의 포함 관계로 읽어야 하고, 7번은 원의 반지름에 해당하는 양이 실제 원을 만들 수 있는지 확인해야 합니다. 8번에서도 어느 교육도 받지 않은 사람과 하나만 받은 사람을 구분해야 합니다.

보통 문항에서는 개념을 식으로 옮기는 과정이 길어집니다. 9번은 거리의 비를 자취의 방정식으로, 10번은 명제가 거짓이라는 조건을 포함 관계가 성립하지 않는 상황으로 바꿉니다. 11번은 접선을 구하는 단계와 삼각형의 넓이를 구하는 단계를 분리해야 풀이가 정돈됩니다.

자동 분류 기준 어려움 문항이 객관식 후반에 모여 있고 마지막 서술·단답형에도 있습니다. 그러나 16·17번은 보통이므로 객관식 후반에 막혔을 때 확인할 가치가 있습니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라, 풀이 순서와 복습의 우선순위를 정하는 참고 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 도형의 이동과 원의 관계가 중심

도형의이동은 점의 대칭에서 출발해 도형의 방정식, 직선의 대칭, 원의 평행이동으로 확장됩니다. 13번에서 점의 이동과 방정식에 대입하는 부호를 구별하는 연습을 한 뒤 14·15번으로 넘어가는 순서가 좋습니다. 17번에서는 이동한 직선과 원을 구하고 넓이 이등분 조건까지 연결합니다.

원의방정식은 기본 표준형에서 자취, 접선, 거리의 최대로 이어집니다. 단원 자체에 자동 분류 기준 어려움 문항은 없지만, 원의 접선과 위치 관계는 도형의이동에 속한 15번을 이해하는 데도 쓰입니다. 단원별 문제만 따로 풀기보다 중심과 반지름을 읽고 거리 조건으로 옮기는 공통 과정을 익히세요.

명제는 부정·대우·필요조건·참거짓을 고르게 다룹니다. 집합은 공통 원소의 유무와 원소 개수에서 집합의 상등과 원소 대응으로 확장됩니다. 절대부등식은 마지막 문항에 등장하므로 출제 문항 수가 적다는 이유로 제외하기 어렵습니다. 산술평균과 기하평균의 관계를 쓰기 위한 식의 변형까지 준비해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 도형의이동 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 줄었지만 서술·단답형은 늘었고, 자동 분류 기준 어려움 문항도 늘었습니다. 쉬움 문항 수는 같고 보통 문항 수가 줄어, 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 가벼워졌다고 보기는 어렵습니다.

도형의이동은 작년 3문항에서 올해 5문항으로 늘었고 원의방정식은 5문항을 유지했습니다. 명제는 5문항에서 4문항, 집합은 5문항에서 3문항, 절대부등식은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 올해 준비의 중심은 이동한 도형의 방정식과 원의 거리 조건을 연결하는 데 둘 수 있습니다.

작년 어려움 문항은 14·15·18번이고 올해는 12·14·15·18번입니다. 작년 서술·단답형 19·20번은 보통이었지만 올해는 서술·단답형인 18번이 어려움에 속합니다. 다음 시험에는 객관식 후반의 복합 조건뿐 아니라 최솟값의 성립 근거를 끝까지 쓰는 연습도 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산이 끝난 뒤에도 기하적 위치나 등호 조건의 확인이 남는다는 것입니다. 식을 구하는 단계와 그 식이 원래 조건을 만족하는지 확인하는 단계를 나누어 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 규칙이 바로 떠오르는 초반 문제를 확보하세요. 12번의 원소 대응이나 14·15번의 복합 조건에서 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형을 확인하세요. 16·17번은 자동 분류 기준 보통이므로 접근 가능한 단계부터 써 두는 편이 좋습니다. 실제 제한 시간에 맞추어 후반을 풀 시간과 검토 시간을 남기는 연습을 하세요.

논리와 집합에서는 말의 차이를 확인하세요. 6번의 필요조건은 명제의 방향으로, 10번의 거짓은 반례가 존재하는 상황으로 바꾸어 적습니다. 12번은 방정식을 만족하는 후보라도 원소가 겹쳐 집합의 원소 수가 달라지면 제외해야 합니다. 계산이 맞는지와 조건을 만족하는지는 따로 확인해야 합니다.

도형 문제에서는 11번의 수직 접선, 13번의 이동 부호, 15번의 원의 일치 여부를 점검하세요. 서술형은 16번의 거리 최대가 되는 위치, 17번의 넓이 이등분과 중심의 관계, 18번의 동시 등호 조건을 빠뜨리기 쉽습니다. 마지막 검토는 긴 계산을 반복하기보다 이런 적용 근거와 후보의 범위를 확인하는 데 쓰세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 서로소·부정·대우·필요조건을 말과 진리집합으로 함께 정리하세요. 각 개념이 성립하지 않는 간단한 반례도 찾아보세요(2·3·4·6·10번 대비).
2. 원의 표준형과 완전제곱을 복습하세요. 중심·반지름을 읽은 뒤 원이 실제로 존재하는 조건과 거리의 비로 주어진 자취를 연결하세요(5·7·9번 대비).
3. 집합의 각 영역을 그림으로 구분한 뒤 상등 조건의 원소 대응으로 확장하세요. 후보를 구한 다음 원소가 겹치는지 검토하는 습관을 들이세요(8·12번 대비).
4. 점의 이동과 도형 방정식의 이동을 나누어 연습하세요. 꼭짓점으로 변환을 확인하고 일반 대칭축의 중점·수직 조건까지 확장하세요(1·13·14·17번 대비).
5. 중심과 직선의 거리, 중심 사이의 거리로 접선과 교점 조건을 정리하세요. 수직선과 원의 일치 같은 예외도 포함하세요(11·15·16번 대비).
6. 완전제곱과 산술평균·기하평균을 결합한 최솟값 문제를 풀어 보세요. 하한을 구하는 과정과 등호가 실제 성립함을 보이는 과정을 모두 서술하세요(18번 대비).