운중고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

운중고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

운중고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 여러가지부등식, 여러가지방정식입니다. 좌표평면에서 점과 직선, 원의 관계를 해석하는 내용이 중심입니다.

초반에는 무게중심, 평행이동, 연립일차부등식처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 이어집니다. 이후에는 원 위의 점과 직선 사이의 거리로 넓이를 해석하거나, 내분점과 외분점으로 새 직선을 만드는 등 개념을 연결해야 합니다. 공식을 알고 있는지에 더해 적용 순서를 결정하는 연습이 필요합니다.

전 문항이 객관식이지만 후반 문제는 중간 판단을 생략하기 어렵습니다. 접은 도형의 대응점, 선분 위에 있어야 하는 교점, 정수 해를 세는 구간을 잘못 잡으면 계산 전체가 달라집니다. 연습할 때는 최종 계산보다 식을 세운 근거와 후보를 제외한 이유를 짧게 기록하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 복합 조건

자동 분류 기준 쉬움 구간은 1~10번입니다. 무게중심과 이동 공식뿐 아니라 항상 성립하는 부등식, 원과 직선의 위치 관계도 포함됩니다. 풀이가 짧더라도 모든 실수라는 조건이나 서로 다른 교점이라는 표현에 따라 등호의 처리 방식이 달라집니다.

11~17번에서는 보통 문항 사이에 어려움인 14번이 들어 있습니다. 절댓값의 구간 분할, 넓이를 거리로 바꾸는 해석, 대칭이동을 이용한 최솟값 등이 이어지므로 유형에 맞는 출발점을 골라야 합니다. 14번에서 오래 막히면 뒤의 보통 문항을 먼저 확인하는 운영이 유효합니다.

18~22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 원의 접선과 근의 관계, 좌표와 넓이, 대칭과 위치 조건처럼 여러 단계를 연결합니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도와 동일시할 수는 없지만, 후반 검토 시간을 남겨야 할 근거로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 원과 직선, 이동의 관계 해석

가장 많은 원의방정식에서는 지름으로 원을 정하는 기본형부터 접선과 넓이를 연결하는 유형까지 다룹니다. 9번의 원과 직선, 15번의 두 원은 모두 위치 관계를 묻지만 접하는 경우를 포함하는지는 다릅니다. 식을 외우기보다 그림과 부등호를 함께 정리하세요.

도형의이동은 점과 직선의 변환에서 출발해 14번의 도형 교점, 16번의 거리 최소, 20번의 접기로 확장됩니다. 직선의방정식도 기울기 계산에 머물지 않고 거리와 넓이, 무게중심을 연결합니다. 단원별 분류와 별개로 대칭·수직·거리라는 공통 도구를 묶어서 복습하는 편이 좋습니다.

여러가지방정식은 21번에 해당하지만 근과 계수의 관계 이후 부등식의 정수 해 검토가 이어집니다. 부등식에서는 3번의 교집합과 정수 세기, 11번의 구간 분할이 이 문제의 기초가 됩니다. 출제 수가 적은 단원도 후반 복합 문제의 출발 개념으로 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 부등식 중심에서 원과 이동으로

작년과 올해는 같은 수학(상) 시험입니다. 작년에는 서술·단답형이 있었지만 올해는 전 문항이 객관식입니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 6문항으로 늘었고 쉬움도 6문항에서 10문항으로 늘었습니다. 문항 수와 형식이 달라졌으므로 어려움 문항 수의 증가만으로 시험 전체가 더 어려워졌다고 단정하기는 어렵습니다.

작년에는 여러가지부등식이 7문항으로 가장 많았고 원의방정식은 3문항이었습니다. 올해는 원의방정식이 6문항으로 가장 많고 여러가지부등식은 3문항입니다. 작년 단원 목록에 없던 도형의이동도 올해는 5문항입니다. 직선의방정식은 두 해 모두 5문항으로, 거리와 위치 관계를 원 및 이동과 함께 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 14·16·17·18·19번이며 올해는 14·18·19·20·21·22번입니다. 두 해 모두 후반 대응이 필요하지만 올해는 기본형이 이어지는 초반을 활용하는 운영이 중요합니다. 다음 시험 대비에서는 부등식의 기초를 유지하면서 원의 접선, 대칭이동, 좌표와 넓이를 연결하는 문제를 보강하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 복잡성을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확인된 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 결과를 원래 도형이나 구간에 되돌려 확인해야 합니다. 풀이가 막히면 계산을 반복하기보다 아직 사용하지 않은 위치 조건과 제외 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본형을 안정적으로 처리하되 부등호와 이동 방향을 확인하세요. 11~17번에서는 풀이 구조가 바로 보이는 문제를 먼저 진행하고, 14번의 교점 조건 정리가 길어지면 표시해 두세요. 제한 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 구체적인 분 단위 배분보다 첫 풀이와 재검토를 구분하는 방식으로 연습하는 것이 좋습니다.

후반 문제는 계산 전에 관계를 짧게 적으면 시간을 줄일 수 있습니다. 18번은 접선과 반지름의 수직 관계로 도형의 길이를 정한 뒤 접선 조건을 식으로 옮기세요. 19번은 공통 매개변수로 좌표를 나타내고 넓이 조건을 연결하세요. 20번은 접기 전후의 대응점을 먼저 표시해야 계산 대상을 혼동하지 않습니다.

마지막 검토는 경계와 후보의 적합성에 집중하세요. 9번은 서로 다른 교점이므로 접하는 경계를 제외하고, 15번은 두 원이 접하는 경우의 포함 여부를 확인하세요. 12번의 사분면, 16번의 이동점 위치, 17번의 삼각형 내부 조건도 계산 뒤에 확인해야 합니다. 21번에서는 정수 해를 셀 때 열린 끝점과 닫힌 끝점을 구별하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 무게중심과 내분·외분 좌표를 복습하세요. 분할비의 순서를 그림에 표시하고 수직이등분선까지 연결해 보세요(1·13번 대비).
2. 연립부등식의 교집합, 항상 성립하는 이차부등식, 절댓값의 구간 분할을 순서대로 연습하세요. 정수 해를 세기 전에 끝점의 포함 여부를 표시하세요(3·5·11·21번 대비).
3. 정점을 지나는 직선과 수직 조건을 정리한 뒤 점과 직선 사이의 거리를 넓이 문제에 적용하세요. 기울기로 나타낼 수 없는 직선도 따로 점검하세요(8·10·12·17·19번 대비).
4. 원의 중심과 반지름을 먼저 읽고 원과 직선 및 두 원의 위치 관계를 그림으로 분류하세요. 접하는 경우와 서로 다른 교점이 생기는 경우를 구별하세요(4·6·9·15번 대비).
5. 원의 접선과 반지름의 수직 관계를 넓이와 닮음으로 연결하세요. 접선 기울기를 직접 구할지 근과 계수의 관계를 쓸지 비교해 보세요(18·22번 대비).
6. 평행이동과 대칭이동의 기본형에서 시작해 교점, 최단 경로, 접기 문제로 확장하세요. 대응점과 선분의 범위를 표시한 뒤 위치 조건으로 후보를 검증하세요(2·7·14·16·20번 대비).