문현고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

문현고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 방정식과 부등식의 계산을 좌표평면 위의 거리·넓이·접기 상황에 연결하는 시험입니다.

기본 공식의 적용만으로 접근 가능한 문항과 도형의 성질을 먼저 찾아야 하는 문항이 섞여 있습니다. 같은 거리라는 조건은 거리의 제곱을 비교하는 식으로, 원의 접선 조건은 중심과 접선 사이의 거리로 바꾸어 보세요. 도형을 식으로 번역하는 기준이 분명하면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

서술·단답형도 원, 부등식, 대칭이동으로 나뉩니다. 마지막 문제만을 위해 시간을 남기는 것보다, 접선의 기하적 성질과 매개변수의 경우 분리처럼 각 문항의 출발 근거를 간결하게 쓰는 연습이 필요합니다. 계산 결과를 얻은 뒤 원래 조건을 다시 확인하는 과정까지 풀이로 익혀 두세요.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 후반의 조건 연결

쉬움 문항은 초반의 1·2·3·6번과 중간의 13번입니다. 원과 직선의 위치 관계, 연립방정식, 거리와 내분, 다항식의 근 표현 등 기본 도구를 점검합니다. 특히 13번은 근을 직접 구하기보다 다항식에 대입하는 구조를 알아보는 것이 중요하므로, 번호가 뒤라고 계산이 길 것이라 판단하지 마세요.

보통 문항에서는 계산 전의 해석에 주의해야 합니다. 10번은 입체도형의 겉넓이를 식으로 세우는 과정, 16번은 넓이 분할 직선의 위치, 20번은 접힌 호와 접점의 관계가 출발점입니다. 풀이가 길어진다면 전개를 반복하기 전에 도형에 표시한 조건이 충분한지 살펴보세요.

어려움으로 분류된 19·23번은 여러 기하 조건을 이어야 합니다. 19번은 무게중심에서 얻은 좌표 관계를 정삼각형의 높이와 연결하고, 23번은 대칭 전후의 길이와 접는 선의 성질을 동시에 사용합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 원·방정식·평면좌표의 고른 비중

원의방정식은 교점, 축에 접하는 원, 접힌 호, 원 밖에서 그은 접선까지 이어집니다. 중심과 반지름을 정확히 정하는 것이 공통 출발점입니다. 4번에서는 지름의 중점, 5번에서는 중심의 좌표와 반지름의 관계, 21번에서는 접선과 반지름의 수직 관계를 우선 확인하세요.

여러가지방정식에서는 연립방정식과 삼차방정식의 인수분해, 켤레근, 근과 계수의 관계를 다룹니다. 평면좌표는 거리와 내분의 기본형에서 외심과 정삼각형으로 확장됩니다. 대수와 기하를 별도로 암기하기보다 거리 조건을 방정식으로 만들고, 식에서 얻은 후보를 도형에 대조하는 연습이 효과적입니다.

여러가지부등식은 절댓값, 정수해, 실생활 배정 조건, 항상 성립할 조건으로 구성됩니다. 단순히 해의 범위를 계산하는 것에 그치지 않고 문장의 조건과 경계를 해석해야 합니다. 도형의이동은 23번에 해당하며, 평면좌표와 직선의방정식에서 배운 거리·중점·수직 관계를 함께 사용하는 마무리 유형입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

자동 분류 기준 어려움은 19·23번이고, 22번은 보통입니다. 여기서는 여러 조건을 연결하거나 예외를 별도로 처리해야 한다는 분석을 근거로 22번까지 주의 대상으로 골랐습니다. 분석상 고난도 문항이라는 표현은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니며, 공통적으로 식을 세운 근거와 후보를 제외한 이유를 함께 설명하는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 거리 공식, 내분, 기본 인수분해처럼 출발 방법이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 도형을 식으로 옮기는 데 시간이 걸리는 10·16·20번은 그림에 조건을 표시한 뒤 진행 여부를 판단하면 좋습니다. 19번에서 풀이가 막히더라도 20번과 서술·단답형의 접근 가능성을 먼저 확인하세요.

서술·단답형은 21번의 접선 도형, 22번의 경우 분리, 23번의 대응점 정리를 위한 시간을 남겨야 합니다. 21번에서는 수직을 표시하고, 22번에서는 계수의 부호에 따른 경우를 적고, 23번에서는 접기 전후의 점을 구분해 쓰세요. 연습할 때는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 따로 살펴보면 어느 단계가 느린지 확인할 수 있습니다.

마지막 검토에서는 1·8번의 엄격한 부등호, 12번의 정수해가 바뀌는 경계, 15번의 직선 위 양쪽 위치를 확인하세요. 17번에서는 마지막 방이 가득 차지 않을 수 있고, 22번에서는 이차항이 없어질 수 있습니다. 23번의 후보는 좌표 계산뿐 아니라 점이 놓여야 할 선분 조건에도 대조해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분 공식을 복습하고 축 위의 점에서 어느 좌표가 사라지는지 표시하세요. 같은 거리 조건은 거리의 제곱을 비교하는 방식으로 정리하세요(3·6·9·15번 대비).
2. 원의 중심과 반지름을 정하는 기본형부터 접선 문제까지 이어서 연습하세요. 축과의 접촉, 교점, 접선의 수직 관계를 그림과 식으로 함께 쓰세요(1·4·5·21번 대비).
3. 삼차방정식의 인수분해, 켤레근, 근과 계수의 관계를 묶어 복습하세요. 실제 근을 모두 구해야 하는지, 다항식 대입으로 충분한지 먼저 판단하세요(2·7·10·11·13번 대비).
4. 부등식은 수직선에 공통 범위와 끝점 포함 여부를 표시하세요. 정수해 조건과 실생활 문장을 해석한 뒤, 항상 성립하는 조건에서는 차수가 낮아지는 예외도 점검하세요(8·12·17·22번 대비).
5. 좌표기하에서는 평행·수직과 넓이를 연결하고, 정삼각형의 중점과 높이 관계로 확장하세요. 복잡한 연립식 전에 도형의 성질로 줄일 수 있는 미지수를 찾아보세요(14·16·18·19번 대비).
6. 접기 문제는 대응점을 짝지어 길이 보존과 수직이등분선 조건을 적는 연습으로 마무리하세요. 원의 호와 다각형을 접는 상황을 구별하고 후보의 위치까지 확인하세요(20·23번 대비).