곡정고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

곡정고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

곡정고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식입니다. 좌표로 도형을 표현하는 내용과 방정식·부등식의 해를 해석하는 내용이 함께 출제되었습니다.

도형 문항에서는 그림에 표시된 길이를 곧바로 계산하기보다 적절한 기준을 정하는 일이 중요합니다. 같은 거리에 있는 점은 수직이등분선으로, 원과 직선의 만남은 중심에서 직선까지의 거리로 바꿀 수 있습니다. 넓이를 구할 때도 밑변을 고정하면 움직이는 높이의 문제로 정리됩니다.

대수 문항은 해를 얻은 뒤의 검토가 필요합니다. 정수해의 개수는 끝점 포함 여부에 따라 달라지고, 연립방정식은 인수분해로 나눈 각 경우를 모두 처리해야 합니다. 서술·단답형에서도 사용한 성질과 조건의 연결을 문장으로 남기는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중간의 예외와 후반의 연속 구간

쉬움 문항은 1·2·4번으로, 접선 공식이나 직선의 절편, 이차부등식의 해와 계수의 관계를 확인합니다. 보통 문항은 초반과 중반에 넓게 분포하며 서술·단답형 20·21번에도 있습니다. 자동 분류 기준이므로 보통이라는 이유만으로 풀이 과정이 짧다고 판단하지 마세요.

7번은 초반에 등장하는 어려움 문항입니다. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우를 빠짐없이 나누어야 하므로, 평행 조건만 보고 멈추면 놓치는 경우가 생깁니다. 이 문항에서 접근이 지연되더라도 다음의 보통 문항으로 넘어갈 수 있도록 표시해 두세요.

15~19번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 구간입니다. 도형의 최댓값·최솟값, 복소수의 거듭제곱, 이동하는 구간의 정수해 등 접근 방식이 달라집니다. 한 유형의 계산 속도만 높이기보다 조건을 읽고 적절한 표현을 선택하는 훈련이 필요합니다.

출제 단원 — 원과 직선의 거리 관계를 중심으로

원의방정식은 1·6·8·10·18·21번입니다. 접점이 주어진 접선에서 시작해 직선과의 위치 관계, 직각삼각형과 지름, 외접원, 공통접선으로 연결됩니다. 원의 식을 표준형으로 바꾸어 중심과 반지름을 먼저 읽는 습관을 들이세요.

직선의방정식은 2·7·14·15·19번이며, 평행·수직과 점과 직선 사이의 거리가 중심입니다. 특히 15번의 삼각형 넓이와 19번의 평행사변형 넓이는 거리 공식을 도형의 높이로 해석해야 합니다. 공식 암기와 함께 어느 선분을 밑변으로 잡았는지 설명할 수 있어야 합니다.

여러가지부등식은 항상 성립하는 조건, 주어진 해의 역추적, 절댓값, 정수해 개수를 다룹니다. 여러가지방정식은 허근과 근·계수 관계, 연립방정식의 인수분해를 확인합니다. 평면좌표의 외분과 거리도 뒤의 도형 문항을 풀기 위한 바탕이므로 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 도형 단원 비중 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 21문항, 서술·단답형 3문항으로 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 6문항으로 줄었지만 쉬움도 5문항에서 3문항으로 줄고 보통은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 어려움의 감소만으로 전체 부담이 낮아졌다고 단정하기 어렵습니다.

공통 단원을 보면 원의방정식은 4문항에서 6문항으로, 직선의방정식은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 평면좌표는 5문항에서 2문항으로 줄었고 여러가지부등식은 5문항으로 같습니다. 이번 시험 대비 복습에서는 평면좌표의 기본을 확보한 뒤 원과 직선의 거리 관계에 더 시간을 배분할 근거가 있습니다.

작년 어려움 문항은 13·15·16·17·18·20·21번이었고, 올해는 7·15·16·17·18·19번입니다. 올해는 어려움이 더 이른 위치에 등장하는 한편 서술·단답형의 어려움은 19번에 놓여 있습니다. 번호 순서로 체감 난도를 예상하기보다 전체를 훑어 접근할 문항을 고르는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건을 바꾸고 경우를 검토하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 가능한 위치를 그려야 풀이가 짧아집니다. 식을 세운 이유와 제외한 경우의 근거를 함께 기록하는 방식으로 복습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근이 바로 보이는 기본형을 확보하세요. 7번에서 경우 나누기가 막히면 표시하고 뒤 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 15~18번에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형 19~21번도 훑어, 풀이를 시작할 수 있는 문항을 찾아 두세요.

서술·단답형은 식의 연결을 적는 시간까지 확보해야 합니다. 19번은 길이에서 직선과 높이로 이어지는 근거를 단계별로 남기고, 20번은 인수분해한 각 경우를 구분하세요. 21번은 접점이 원 위에 있다는 조건과 접선이 외부 점을 지난다는 조건을 따로 적으면 누락을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 부등호와 위치 관계를 우선 확인하세요. 3·6번의 경계 포함, 11·17번의 정수 범위, 9번의 외분 방향이 주요 점검 대상입니다. 15·18번은 그림에서 가능해 보인다는 이유로 확정하지 말고 거리 조건으로 확인하며, 20번은 해의 부호와 순서쌍의 대응을 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 기울기·절편과 수직 관계를 먼저 복습하세요. 한 점에서 직선을 세우고 교점으로 조건을 확인하는 기본형을 익히세요(2·5·14번 대비).
2. 원의 표준형과 접선 공식을 정리하세요. 중심·반지름을 읽은 뒤 접선 조건을 접점 좌표나 거리로 표현하세요(1·6·10·21번 대비).
3. 도형의 길이와 넓이를 좌표로 옮기세요. 외분점을 구하고 밑변과 높이를 선택한 이유까지 설명하세요(8·9·15·19번 대비).
4. 부등식은 해의 구간을 수직선에 표시하세요. 절댓값의 경계와 정수 포함 여부를 확인한 뒤 이동 구간의 겹침으로 확장하세요(3·4·11·12·17번 대비).
5. 허근이 만족하는 관계식과 거듭제곱의 주기를 연습하세요. 근을 직접 계산하기 전에 인수분해와 근·계수 관계로 식을 줄여 보세요(13·16번 대비).
6. 경우를 나누는 문제를 모아 서술하세요. 평행과 한 점에서 만남, 거리 등식의 부호, 인수분해의 각 경우가 모두 처리되었는지 점검하세요(7·18·20번 대비).