휘문고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

휘문고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용을 다룹니다. 객관식과 서술·단답형이 뒤쪽에서 교차하므로 번호만 보고 답안 작성 방식을 짐작하지 않는 것이 좋습니다.

문항을 관통하는 도구는 부호표와 그래프입니다. 속도 비교처럼 미분을 바로 적용하는 문항도 있지만, 극값이 생기는 위치와 함수의 부호 변화를 구별하거나 수평선과 곡선의 교점으로 조건을 바꾸는 문항이 이어집니다. 계산식을 세우기 전에 무엇의 부호를 조사할지 정하는 것이 중요합니다.

적분 영역도 원시함수 계산만으로 끝나지 않습니다. 적분으로 정의된 함수를 미분해 극값을 조사하거나, 넓이의 최댓값을 매개변수 조건과 연결합니다. 미분과 적분을 따로 공부하기보다 한 문항 안에서 서로 전환하는 연습이 필요한 시험입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 4번은 위치를 미분해 속도를 비교하는 문항입니다. 보통 구간에는 평균변화율, 그림자 끝의 속도, 이동 거리, 적분 등식의 미분 등이 들어 있습니다. 같은 보통이라도 상황을 식으로 옮기는 단계가 있어 무조건 계산부터 시작하면 시간을 쓰기 쉽습니다.

5번은 절댓값을 포함한 함수의 증가 조건, 10번은 정리의 적용과 명제 판단을 다룹니다. 초반이라고 모두 빠르게 풀 수 있는 배열은 아닙니다. 해당 문항에서 풀이 방향이 보이지 않으면 뒤의 보통 문항을 먼저 확인하는 운영이 필요합니다.

13~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 극값, 접선, 실근 개수, 절댓값 적분처럼 서로 다른 소재가 이어지므로 한 풀이를 반복하기보다 조건을 새로 해석해야 합니다. 이 분류는 학습 순서를 정하는 참고 자료이며 개인별 체감 난이도는 다를 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의활용 중심, 적분과의 연결

도함수의활용에서는 극대·극소와 방정식의 실근 개수가 반복됩니다. 6번의 도함수 근과 부호 변화, 11번의 근의 부호 조건을 먼저 익힌 뒤 구간별 함수와 거리 함수로 확장하는 편이 좋습니다. 미분 계산을 잘해도 극값의 존재를 판정하지 못하면 후반 문항으로 연결되지 않습니다.

정적분은 7·8번에서 적분함수의 미분과 극값을 확인하고, 20번에서 절댓값과 누적 적분의 부호를 함께 판단합니다. 정적분의활용은 이동 거리와 넓이로 나뉘며, 부정적분 역시 원래 함수를 복원한 뒤 극값이나 실근을 해석합니다. 단원별 문항 수만으로 계산 부담을 판단하기 어려운 구성입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 후반 집중

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 8문항에서 9문항으로 늘었고, 자동 분류 기준 어려움은 14문항에서 10문항으로 줄었습니다. 보통은 5문항에서 9문항으로 늘어 분포가 달라졌지만, 이것만으로 실제 응시자의 체감 부담을 확정할 수는 없습니다.

도함수의활용은 10문항에서 12문항으로 늘었습니다. 정적분의활용은 5문항에서 2문항으로, 정적분은 4문항에서 3문항으로 줄었으며 올해에는 부정적분도 포함됩니다. 따라서 복습에서는 미분 활용을 우선하되 적분과 극값을 결합하는 문제를 함께 다뤄야 합니다.

작년 어려움 문항은 4~10번, 12~18번에 분포했지만 올해는 5·10번과 13~20번에 있습니다. 작년에는 19·20번이 보통이었고 올해는 어려움이므로, 마지막 문항에서 시간을 회복할 것으로 기대하지 말고 후반 풀이 시간을 미리 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 겉으로 제시된 표현을 바로 계산하기보다 조건의 의미를 바꾸는 과정이 핵심입니다. 거리에서 근의 성질로, 다항식의 곱에서 인수의 배분으로, 적분식에서 부호와 증가 구간으로 옮기는 첫 단계를 말로 설명할 수 있게 연습하세요. 이용자 투표로 확정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항 선정입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 위치·속도 관계와 적분의 기본 성질을 적용할 수 있는 문항부터 해결하세요. 5·10번에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두고 넘어가되, 11·12번 서술·단답형도 함께 확인하는 것이 좋습니다. 앞쪽 객관식을 모두 끝내야 뒤로 간다는 방식은 이 배열에서 비효율적일 수 있습니다.

후반에는 식을 세우는 단계와 계산 단계를 나누세요. 13번은 매개변수 범위와 넓이 구간, 16번은 접점 조건과 수직 조건, 19번은 교점 조건과 정수 조건을 먼저 적어 두면 다시 풀 때도 흐름을 이어가기 쉽습니다. 풀이가 정리된 문항을 먼저 마무리하고 마지막에 조건 검토 시간을 남기세요.

특히 도함수가 영이라는 사실과 극값이라는 결론을 구별해야 합니다. 8·14·17번은 부호 변화와 경계 확인이 필요하고, 11·19번은 근의 부호나 서로 다름을 확인해야 합니다. 3번의 이동 거리와 변위, 20번의 절댓값 위치도 따로 점검하면 개념 혼동을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 변화율의 의미부터 정리하세요. 평균변화율과 순간변화율, 위치와 속도, 그림자 끝의 위치를 구별해 식을 세웁니다(1·2·4번 대비).
2. 미분과 적분으로 함수를 복원하세요. 적분상수와 구간이 같아지는 대입 조건까지 확인하고, 두 함수의 차를 이용하는 풀이도 연습합니다(7·9·12번 대비).
3. 도함수 부호표로 극값을 판정하세요. 중근과 경계점을 따로 표시하고 구간별 함수의 전체 증감을 이어 그립니다(5·6·8·14·17번 대비).
4. 실근 개수를 그래프의 교점으로 바꾸세요. 근의 부호, 서로 다른 근, 극값과 같은 높이에서의 경계 상황을 구별합니다(11·15·19번 대비).
5. 도형 조건을 미분 조건과 연결하세요. 넓이의 적분 구간과 평행한 접선 사이의 거리를 그림에 표시해 정리합니다(13·16번 대비).
6. 복합 조건을 단계별로 분해하세요. 정리의 가정과 반례, 인수 배분, 피적분함수와 누적 적분의 부호를 각각 확인한 뒤 전체 조건을 검토합니다(10·18·20번 대비).