가락고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

가락고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 도함수의 부호와 극값부터 넓이와 운동까지 이어져, 미분과 적분의 의미를 함께 확인하는 시험입니다.

초반에는 도함수 그래프의 해석, 적분 구간의 연결, 부정적분의 정리처럼 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 절댓값 적분의 최대·최소, 대칭성과 적분, 매개변수에 따른 운동 방향처럼 먼저 구조를 파악해야 하는 문제가 등장합니다.

후반의 난점은 식이 길다는 데만 있지 않습니다. 도함수의 반복을 원함수의 변화량으로 바꾸거나, 실근 개수를 새로운 함수로 읽는 전환이 필요합니다. 서술·단답형도 모두 같은 난도가 아니므로, 문제 번호 순서만으로 풀이 우선순위를 정하지 않는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 조건 해석으로 확장

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 증가의 의미, 정적분의 성질, 부정적분 계산, 위치의 미분을 정확히 처리하는 구간입니다. 익숙한 계산이라도 적분 방향과 시간의 범위를 확인하지 않으면 기본 문항에서 실수가 생길 수 있습니다.

자동 분류 기준 보통 문항은 단순 적분만으로 끝나지 않습니다. 11번은 절댓값을 없애는 구간을 정한 뒤 매개변수의 최대·최소를 비교하고, 12번은 함수와 도함수의 대칭성을 구별해야 합니다. 풀이가 길어지기 전에 사용할 성질을 찾는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움은 13번에서 나타난 뒤 16~18번으로 이어지고, 서술·단답형에서는 20번에 배치돼 있습니다. 19·21·22번은 보통으로 분류돼 있으므로 객관식 후반에 막혔다고 서술·단답형 전체를 뒤로 미루지 마세요. 분류는 학습 순서를 잡는 참고 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 9문항으로 가장 많습니다. 증가·감소, 극값, 항상 성립하는 부등식, 운동 방향, 실근 개수, 도형의 넓이 최대화까지 폭이 넓습니다. 같은 미분 단원이어도 부호표를 쓰는 목적이 운동인지 그래프인지 구별하며 공부해야 합니다.

정적분과 정적분의활용은 각각 6문항입니다. 정적분에서는 구간의 가법성, 미분과 적분의 관계, 대칭성, 일정한 구간의 적분값을 상수로 두는 방법을 확인합니다. 활용에서는 넓이와 위치를 적분식으로 표현한 뒤 부호나 최대·최소 조건을 덧붙입니다.

부정적분은 3번에 해당합니다. 문항 비중이 작더라도 원시함수를 구하고 초기 조건을 적용하는 능력은 정적분 계산의 바탕입니다. 특히 14번처럼 넓이를 적분으로 만든 뒤 다시 미분하는 문제는 단원별 공식 암기만으로 대비하기 어렵습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 풀이 구조를 근거로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 조건을 그래프·구간·도형의 관계로 바꾸는 단계가 필요합니다. 식을 전개하기 전에 무엇을 비교하거나 세어야 하는지 짧게 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 1~4번에서는 기본 계산을 정확히 끝내고 검산할 여유를 확보하세요. 5~12번도 무작정 전개하기보다 부호 분할, 대칭성, 최솟값처럼 계산을 줄이는 기준을 먼저 찾는 것이 좋습니다. 각 문항의 첫 줄에 사용할 성질을 적는 연습이 시간 관리에 도움이 됩니다.

13번에서 경우 나누기가 길어지거나 17·18번에서 해석이 막히면 조건과 시도한 내용을 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 서술·단답형의 19·21·22번도 먼저 살펴보고 풀 수 있는 문제부터 마무리하는 전략을 권합니다. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 정해진 분량보다 풀이와 답안 작성에 남길 시간을 함께 점검하세요.

마지막에는 운동 문제의 시간 범위와 방향 전환, 최대·최소 문제의 허용 구간, 실근 개수 문제의 경계점을 집중적으로 확인하세요. 16번의 이동 거리와 변위, 17번의 도함수와 원함수의 주기성, 22번의 실제 넓이 경계는 각각 다른 개념을 구분해야 하는 지점입니다. 서술 답안에는 후보를 고른 이유와 조건 확인을 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분·적분과 구간의 방향을 정리하세요. 도함수 부호를 증감으로 읽고, 정적분을 합치며 초기 조건을 적용하는 과정을 안정시키세요(1·2·3·4·7번 대비).
2. 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나누세요. 축과의 넓이와 절댓값 적분을 먼저 연습한 뒤, 매개변수에 따른 넓이의 최소화로 확장하세요(5·11·14번 대비).
3. 극값과 전역 최대·최소를 구별하세요. 도함수의 부호표를 쓰고 끝점과 내부 후보를 비교하는 과정을 설명해 보세요(9·10·20·21번 대비).
4. 운동 문제에서 위치·속도·이동 거리를 각각 식으로 표현하세요. 반대 방향의 시간 구간과 두 점의 만남을 구별하는 연습을 이어 가세요(6·13·16번 대비).
5. 정적분에 쓰이는 구조를 익히세요. 대칭성으로 사라지는 항을 찾고, 고정 구간의 적분값은 상수로 두며, 반복되는 도함수는 변화량으로 해석하세요(8·12·17·19번 대비).
6. 그래프와 도형을 적분식으로 바꾸는 연습을 하세요. 교점 개수의 경계를 표시하고, 넓이를 나누는 곡선과 실제 적분 경계를 스케치로 확인하세요(15·18·22번 대비).