현대고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

현대고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차함수, 평면좌표, 직선의방정식입니다. 대수에서는 근의 성질과 부등식의 성립 조건을, 도형에서는 좌표로 표현한 거리와 넓이를 폭넓게 다룹니다.

초반에는 연립방정식과 외분점, 이차부등식의 기본 원리를 적용합니다. 이후 같은 개념을 정수 조건이나 접선 조건과 결합해 사용합니다. 예를 들어 근과 계수의 관계를 아는 데서 그치지 않고 가능한 정수근을 분류해야 하며, 직선의 식을 구한 뒤에는 넓이와 자연수 조건까지 이어서 해석해야 합니다.

좌표를 구하는 계산과 도형의 성질을 읽는 판단이 함께 필요합니다. 거리의 제곱합은 완전제곱식으로, 같은 높이의 삼각형은 밑변의 비로, 평행선 사이의 도형은 닮음으로 바꾸면 계산을 줄일 수 있습니다. 문제마다 먼저 얻을 관계와 마지막에 확인할 조건을 구분해 적는 연습이 효과적입니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 이어지는 조건 결합

쉬움은 1~3번입니다. 연립방정식에서 합과 곱을 찾고, 외분 공식을 적용하고, 이차부등식이 모든 실수에서 성립하는 조건을 확인하는 기본형입니다. 보통인 4·5·7번에서는 대입, 완전제곱식, 내분과 거리 공식을 연결해야 합니다. 기본 공식의 적용 방향을 정확히 정하면 후반에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

6번은 허근의 거듭제곱과 켤레복소수의 성질을 함께 다루며, 뒤의 7번은 보통으로 분류됩니다. 따라서 6번에서 정리가 길어져도 다음 문항을 확인할 필요가 있습니다. 8~14번에서는 변수 변환, 접선, 정수근, 넓이 관계 등 서로 다른 판단이 연속해서 요구됩니다.

서술·단답형인 15~18번은 모두 어려움에 해당합니다. 다만 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 특히 16번은 절댓값의 구간 분리 뒤 정수 후보를 확인하고, 17번은 앞에서 구한 좌표를 뒤 계산에 이용하므로 첫 관계식을 정확히 세우는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 방정식의 정수 조건과 좌표도형의 연결

가장 많은 여러가지방정식은 1·4번의 연립방정식부터 6번의 허근, 10·13·15번의 정수근 조건까지 이어집니다. 공통된 출발점은 식의 구조를 단순하게 만드는 것입니다. 합과 곱으로 묶거나 인수분해한 뒤, 정수라는 조건이 가능한 후보를 어떻게 제한하는지 확인하세요.

평면좌표는 외분점, 거리의 제곱합, 무게중심, 같은 거리에 있는 점과 각의 이등분선으로 확장됩니다. 직선의방정식 문항은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 직선과 교점을 구하는 기술뿐 아니라 공통 높이, 닮음, 수직 관계를 활용해 필요한 길이나 넓이를 선택하는 능력이 중요합니다.

여러가지부등식은 항상 성립하는 조건과 정수해의 개수를 함께 준비해야 합니다. 이차함수로 분류된 9번도 접선을 중근 조건으로 바꾸므로 방정식과 직선의 개념이 연결됩니다. 단원별 문제를 푼 뒤 같은 판별식이 부등식에서는 부호 조건으로, 접선에서는 중근 조건으로 쓰인다는 차이를 정리해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산의 결과를 다음 조건의 출발점으로 다시 해석해야 한다는 데 있습니다. 풀이를 인수분해·후보 분류·범위 확인 또는 좌표·넓이·정수 조건처럼 단계별로 나누면 막힌 지점을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 관계를 안정적으로 처리하고, 6번에서 진술 검토가 길어지면 표시한 뒤 7번을 살펴보세요. 8번 이후에는 어려움 문항이 이어지므로 번호 순서만 고집하기보다 식의 구조가 보이는 문제를 먼저 고르는 연습이 필요합니다. 제한 시간은 제시되지 않았으므로 연습할 때 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하세요.

서술·단답형은 시작 전에 전체 요구를 읽고 앞 결과가 뒤에서 어디 쓰이는지 표시하세요. 15번은 정수근 후보를 좁히는 근거, 16번은 구간별 해를 합치는 과정, 17번은 거리비가 내분비가 되는 근거를 남기는 것이 좋습니다. 18번까지 도달할 시간을 확보하고, 중간 좌표를 검산해 뒤 단계로 오류가 이어지지 않도록 하세요.

마지막 검토는 조건의 경계에 집중하세요. 3번과 8번은 등호 허용 여부가 다르고, 10번은 삼차방정식이라는 조건을 유지해야 합니다. 13·15번에서는 정수 후보와 남은 근의 조건을, 14번에서는 넓이비와 길이비의 차이를 확인하세요. 16번은 공통해만 남겼는지, 18번은 자연수 조건을 모두 함께 적용했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 연립방정식의 대입과 합·곱 관계를 복습하세요. 구한 근을 원래 해의 쌍으로 복원하고 순서 조건까지 확인하세요(1·4번 대비).
2. 내분·외분, 무게중심, 거리 공식을 연결하세요. 거리의 제곱합은 완전제곱식으로 정리하고 좌표 결과를 그림과 대조하세요(2·5·7번 대비).
3. 이차부등식의 항상 성립 조건과 접선의 중근 조건을 함께 정리하세요. 치환 전후의 범위와 엄격한 부등호의 경계를 확인하세요(3·8·9번 대비).
4. 허근은 거듭제곱의 주기와 켤레근 관계부터 정리하세요. 각 진술에 필요한 관계를 골라 적용하고 범위 안의 개수 세기를 연습하세요(6번 대비).
5. 정수근 문제는 인수분해 뒤 약수·제곱수 후보를 표로 정리하세요. 후보가 원래 계수 조건과 근의 조건을 모두 만족하는지 검사하세요(10·13·15번 대비).
6. 좌표도형에서는 공통 높이, 닮음, 각의 이등분선을 먼저 표시하세요. 넓이를 함수로 표현하거나 비례 관계로 줄이는 풀이를 연습하세요(11·12·14·17번 대비).
7. 부등식의 정수해와 도형의 자연수 조건을 마무리 연습으로 묶으세요. 후보 대입과 나누어떨어짐 조건을 빠뜨리지 않고 글로 설명하세요(16·18번 대비).