한가람고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

한가람고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 이차함수입니다. 좌표평면의 점과 직선, 원을 중심으로 도형의 성질을 대수적으로 표현하는 시험입니다.

초반에는 점과 기울기로 직선을 세우거나 평행이동한 좌표를 구하는 기본형이 나옵니다. 이후에는 거리 공식에 접선 조건을 결합하고, 이차함수와 직선의 교점을 이용해 필요한 도형을 구성합니다. 단원별 공식을 외운 다음에는 어떤 조건을 먼저 식으로 옮길지 연습해야 합니다.

서술·단답형에서도 원의 방정식을 세우는 기본형과 여러 관계를 결합하는 유형이 함께 나옵니다. 식을 길게 전개하기 전에 중심과 반지름, 대칭축과 선분의 중점처럼 출발에 필요한 대상을 적어 보세요. 중간 결과가 다음 단계의 밑변이나 높이로 쓰이는 구조도 익혀 두면 좋습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 결합

쉬움 구간은 주로 1~5번에 있으며 11번도 포함됩니다. 직선의 절편, 점의 이동, 외분점, 직선의 교점처럼 기본 관계를 정확히 적용하는 문항입니다. 앞쪽의 계산을 빠르게 마치는 것도 필요하지만, 이동 방향과 외분 공식의 부호를 잘못 읽지 않는 것이 우선입니다.

보통 구간은 기본 공식에 조건 해석을 덧붙입니다. 6번은 이동한 원의 접함을 거리로 표현하고, 7번은 내분점의 사분면 조건을 부등식으로 바꿉니다. 8·13번처럼 기울기를 미지수로 둔 뒤 근과 계수의 관계를 사용하는 유형에서는 개별 근을 모두 구해야 하는지 먼저 판단하세요.

10·12번에서 어려움 문항이 나온 뒤 13·14번은 보통으로 돌아오며, 서술·단답형의 16번도 보통입니다. 번호 순서가 곧 난도 순서는 아니므로 막힌 문제를 표시하고 다음 문제를 확인하는 운영이 필요합니다. 이 구분은 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 직선의 관계가 원과 이동으로 확장

직선의방정식은 단독 계산뿐 아니라 다른 도형을 해석하는 도구입니다. 4번의 수직 관계와 거리 공식은 12번의 넓이 계산으로 이어지고, 16번에서는 같은 거리 조건이 수직이등분선으로 바뀝니다. 직선의 식을 세우는 여러 출발점을 함께 정리하세요.

도형의이동은 2·3번의 좌표 변환에서 6번의 원의 평행이동, 17·20번의 직선에 대한 대칭으로 확장됩니다. 후반의 대칭 문항은 좌표의 부호만 바꾸어 처리할 수 없으며, 두 점을 잇는 선분이 대칭축에 수직이고 중점이 축 위에 있다는 성질을 사용해야 합니다.

원의방정식에서는 접선이 반복해서 등장합니다. 13번은 기울기 조건, 15번은 접점과 사각형, 18번은 공통접선, 19번은 접하는 원의 중심을 다룹니다. 평면좌표와 이차함수의 문항 수가 상대적으로 적어도 중점·거리·근과 계수의 관계가 다른 문항에서 쓰이므로 기초를 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산을 마친 뒤 존재 조건이나 위치 조건을 확인해야 하므로, 조건을 식 옆에 적고 검토할 때 다시 대조하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확히 처리하고, 10번에서 계산이 길어지면 11번을 먼저 확인하세요. 12번에서 막히더라도 13·14번의 접선과 원의 기본 구조를 살펴볼 수 있습니다. 어려움 문항을 번호대로 모두 해결하려다 접근 가능한 문항을 놓치지 않도록 전체를 훑는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 출발에 필요한 도형 관계를 짧게 적은 뒤 계산하세요. 15번은 접점이 원 위에 있다는 조건, 16번은 같은 거리와 수직이등분선의 관계, 17번은 대칭축과 중점의 관계를 먼저 적을 수 있습니다. 18·20번처럼 단계가 이어지는 문제는 중간의 직선과 거리를 구별해 적어 두면 다시 계산하는 시간을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 숫자 계산보다 조건 누락을 먼저 찾으세요. 7번의 사분면에는 축 위의 점이 포함되지 않으며, 12번에서는 직선이 평행해지면 필요한 교점이 없습니다. 18·19번은 절댓값을 나눈 각 경우의 실수 해와 반지름을 확인하고, 20번은 최종 점의 좌표 부호가 사분면 조건과 맞는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 기본형과 좌표 계산을 먼저 다지세요. 점과 기울기, 교점, 외분점을 각각 정확한 식으로 나타내고 대입 검산하세요(1·4·5·11번 대비).
2. 이동과 좌표 부호를 복습하세요. 점의 평행이동과 대칭이동을 구별하고, 내분점의 사분면 조건을 매개변수 범위로 바꾸세요(2·3·7번 대비).
3. 점과 직선 사이의 거리로 접함을 표현하는 연습을 하세요. 이동한 원의 중심, 접선의 기울기, 중심의 위치를 차례로 미지수로 두세요(6·8·13·19번 대비).
4. 이차함수와 직선의 교점 및 접함을 묶어 연습하세요. 개별 근을 구하는 경우와 근의 합만 필요한 경우를 구별하세요(9·10·14·16번 대비).
5. 대칭축의 수직이등분 성질을 그림과 식으로 함께 정리하세요. 중점 조건과 연결선의 방향을 사용한 뒤 교점의 존재를 확인하세요(17·20번 대비).
6. 접점의 수직 관계와 넓이 계산을 결합하세요. 밑변과 높이를 먼저 표시하고 절댓값에서 나눈 후보를 원래 도형 조건으로 검토하세요(12·15·18·20번 대비).