잠신고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

잠신고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차방정식, 이차함수입니다. 좌표와 도형을 다루는 문제에 방정식·부등식의 조건 해석이 함께 들어 있습니다.

원의방정식에서는 중심과 반지름을 구하는 기본형에서 접선의 수직 관계, 현의 길이, 움직이는 점의 자취로 확장됩니다. 교점의 좌표를 직접 구할 수도 있지만 중심에서 직선까지의 거리를 이용하면 계산을 줄일 수 있는 문항이 보입니다. 도형의 성질을 먼저 찾고 필요한 식만 세우는 연습이 유효합니다.

서술·단답형도 난도가 섞여 있습니다. 내분·외분을 원의 방정식으로 연결하는 18번, 접선의 기본 원리를 설명하는 20번을 먼저 확인할 만합니다. 자동 분류 기준 어려움인 문항은 도형과 대수의 연결, 경우 나누기, 정수 조건 검토가 더해지므로 풀이의 출발점을 정하는 시간이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반의 어려움과 후반의 기본형을 함께 확인

초반의 1~4번은 거리, 인수분해, 원의 성립 조건, 판별식의 기본 적용을 확인합니다. 이어지는 5번은 수직인 직선의 식에서 출발해 이차식의 부호 조건까지 연결하므로 앞 문제와 접근 방식이 달라집니다. 이 문항에서 오래 멈췄다면 6·7번을 먼저 살펴보세요.

보통 구간에서는 공식을 적용하기 전 도형이나 식을 알맞게 정리해야 합니다. 10번은 직선이 지나는 정점을 찾는 것이, 12번은 현을 밑변으로 잡는 것이 계산의 출발점입니다. 15번도 중점의 자취를 원으로 해석하면 움직이는 두 점의 좌표를 모두 구할 필요가 줄어듭니다.

어려움 문항은 객관식 후반과 서술·단답형에 걸쳐 있으나, 20번은 쉬움으로 분류되어 있습니다. 번호 순서만으로 풀이 우선순위를 정하지 마세요. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 풀이에서는 자신이 익숙한 도형 해석과 경우 분류에 따라 체감이 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식 중심으로 이어지는 거리와 도형 해석

원의방정식은 단순히 식을 완전제곱으로 바꾸는 데서 끝나지 않습니다. 6번은 축에 접하는 조건으로 중심을 표현하고, 9번은 수직인 접선이 만드는 도형을 해석합니다. 12·19번에서는 현의 길이와 점에서 직선까지의 거리가 삼각형 넓이를 구하는 도구가 됩니다.

직선의방정식은 수직 조건, 정점, 점과 직선 사이의 거리를 함께 준비해야 합니다. 특히 13번은 중점과 무게중심을 이용해 좌표 관계를 복원합니다. 기본 거리 공식만 외우기보다 어느 점에서 어느 직선까지의 거리를 쓰는지 그림에 표시해 보세요.

문항 수가 적은 단원도 후반의 부담과 연결됩니다. 이차방정식의 16·17번은 도형의 길이 관계와 정수인 근의 조건을 다루고, 이차함수의 21번은 절댓값에 따른 구간 분리가 필요합니다. 원의방정식을 중심으로 복습하되 대수 조건을 정리하는 훈련도 함께 해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 고난도 문항 수는 같고 원의 비중은 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항과 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같고, 쉬움은 늘고 보통은 줄었습니다. 이 변화만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정하기보다 기본형을 확보할 기회와 고난도 문항의 부담을 나누어 보는 것이 좋습니다.

원의방정식은 작년 6문항에서 올해 9문항으로 늘었고, 여러가지방정식은 6문항에서 3문항으로 줄었습니다. 직선의방정식도 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 올해는 원의 접선·현·자취를 중심으로 거리 공식을 적용하는 연습의 중요성이 더 뚜렷합니다.

작년 어려움 문항은 7·10·14·15·16·17·21·22번이었고, 올해는 5·13·14·16·17·19·21·22번입니다. 올해는 앞부분에서 더 일찍 어려움 문항을 만나고 서술·단답형의 19번도 포함됩니다. 다음 시험 대비에서는 원의 기본형을 빠르게 정리한 뒤 도형과 대수 조건을 결합한 문제로 확장하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 구조를 정해야 합니다. 도형에서는 고정된 길이와 움직이는 대상을, 함수에서는 구간을 먼저 표시하면 필요한 계산의 범위가 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 기본형을 먼저 확보하세요. 5번에서 여러 판단을 정리하느라 시간이 길어지면 표시해 두고 넘어갈 수 있습니다. 객관식 후반을 모두 풀고서 서술·단답형을 보기보다 18·20번처럼 익숙한 원의 기본 원리를 쓸 수 있는 문항도 미리 확인하세요.

도형 문항은 수선을 표시하고 거리의 역할을 구별하는 데 시간을 쓰세요. 12번은 현의 길이를 위한 거리와 삼각형 높이를 위한 거리가 다릅니다. 19번에서도 중심에서 현까지의 거리와 움직이는 꼭짓점에서 현까지의 높이를 구별해야 합니다. 그림에 밑변과 높이를 표시하면 계산을 되짚는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 후보를 걸러 내는 조건을 확인하세요. 11번은 길이와 자연수, 13번은 사분면, 17번은 정수인 근과 중복, 18번은 외분점의 누락이 점검 대상입니다. 21번은 구간 소속과 경계, 22번은 짝수 조건과 부등호의 엄격성을 확인하며 풀이를 마무리하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리의 제곱, 내분점, 완전제곱과 판별식을 먼저 복습하세요. 공식을 적용할 조건을 말로 설명해 보세요(1·3·4·7번 대비).
2. 방정식은 인수분해 뒤 해의 범위를 확인하는 순서로 연습하세요. 실근과 복소수 해, 길이의 양수 조건을 구별하세요(2·8·11번 대비).
3. 직선에서는 수직 조건으로 식을 세우고 정점과 거리를 찾으세요. 중점·무게중심으로 좌표 관계를 복원하는 문제도 묶어 풀어 보세요(5·10·13번 대비).
4. 원의 접선과 현을 거리 공식으로 연결하세요. 밑변과 높이를 달리 잡은 넓이 문제까지 확장해 보세요(6·9·12·14·19·20번 대비).
5. 중점의 자취와 지름의 성질을 도형에 표시하세요. 내분·외분으로 구한 점을 원의 중심과 반지름으로 옮기는 과정도 연습하세요(15·16·18번 대비).
6. 정수 조건과 구간 분류 문제는 경우를 나눈 이유부터 적으세요. 후보의 중복과 구간 소속을 마지막에 검토하는 풀이를 습관화하세요(17·21·22번 대비).