잠신고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

잠신고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 제공 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 사칙연산부터 근과 계수의 관계, 그래프의 교점과 제한된 범위의 최댓값·최솟값까지 연결됩니다.

항등식에서는 계수를 직접 비교하는 방법과 특정 수를 대입하는 방법을 상황에 맞게 선택해야 합니다. 다항식의 곱을 전부 전개하거나 높은 차수의 식을 그대로 나누기 시작하면 계산이 길어집니다. 필요한 계수만 추리거나 나누어떨어지는 부분을 먼저 분리하는 습관이 도움이 됩니다.

방정식과 함수에서는 식을 얻은 뒤 조건을 확인하는 과정이 중요합니다. 실수 계수 조건, 이차항의 존재, 매개변수의 부호, 꼭짓점이 허용 범위에 들어가는지를 함께 살펴야 합니다. 서술·단답형도 항등식의 기본 성질을 활용하는 문항이 있으므로 후반 전체를 어렵다고 보고 미루지 마세요.

난이도 분포 — 보통 문항 중심과 마지막 문항의 구조 해석

쉬움은 1·2·4번입니다. 다항식의 부호 정리, 두 근의 곱, 항등식의 수치 대입처럼 기본 원리를 바로 적용합니다. 초반에도 3번은 보통으로 분류되어 있으며 복소수의 실수부분과 허수부분을 나누고 부호 조건까지 확인해야 하므로 번호만으로 풀이 시간을 예상하지 않는 편이 좋습니다.

보통 문항인 5~15번은 계수 추출, 공식 변형, 나머지정리, 판별식, 도형 관계를 고르게 다룹니다. 같은 보통 분류라도 14번처럼 대입으로 계산을 줄이는 유형과 15번처럼 도형을 식으로 옮기는 유형의 부담은 다를 수 있습니다. 연습에서는 막힌 이유가 개념 부족인지 식을 세우는 지연인지 구별하세요.

어려움은 16·17·22번입니다. 서술·단답형 중 18~21번은 보통이므로 객관식 마지막에서 시간을 모두 쓰지 않도록 주의하세요. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 이 분포는 풀이 순서와 복습 우선순위를 정하는 참고 자료로 활용하는 것이 적절합니다.

출제 단원 — 항등식의 비중과 함수의 조건 해석

항등식은 4·8·10·14·18·19·20번입니다. 수치 대입과 계수 비교에서 출발해 제곱한 다항식의 나머지, 계수 합, 몫에 대한 추가 조건으로 확장됩니다. 특히 18~20번이 모두 항등식이므로 객관식에서 익힌 기본 원리를 서술 과정으로 설명할 수 있어야 합니다.

다항식은 1·5·7·9번으로, 부호 처리와 필요한 항의 선택, 곱셈 공식의 변형을 확인합니다. 복소수는 3·6·13번에서 연산과 상등, 켤레복소수, 음수의 제곱근을 다룹니다. 복소수의 성질을 실수의 성질과 혼동하지 않고 적용 조건부터 확인하는 학습이 필요합니다.

이차방정식은 2·11·15·16번, 이차함수는 12·17·21·22번입니다. 방정식의 근을 직접 구하기보다 합과 곱 또는 근이 만족하는 관계를 쓰는 유형이 눈에 띕니다. 함수에서는 접점 조건, 매개변수에 따른 경우 분류, 교점을 이용한 넓이, 실수 조건을 통한 최적화까지 준비하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 식의 변환과 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 새로운 관계나 허용 범위를 만들어야 합니다. 풀이를 복습할 때는 첫 변환을 선택한 이유와 마지막 조건 검사를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 대입으로 접근이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 5번의 계수 추출이나 9번의 인수분해에서 긴 전개가 시작된다면 식의 구조를 다시 살펴보세요. 16·17번에서 출발점을 찾지 못할 때는 표시하고 서술·단답형을 확인해 풀이 가능한 문항을 확보하는 운영이 좋습니다.

서술·단답형은 계산 결과뿐 아니라 조건을 옮기는 첫 문장을 연습하세요. 18번은 나머지가 사라져야 하는 이유, 19번은 차수와 계수 합을 대입으로 읽는 이유, 20번은 부호 조건으로 특정 인수를 제외하는 이유가 핵심입니다. 21번은 좌표 계산에 앞서 평행한 변과 높이를 표시하고, 22번에 돌아올 시간을 남겨 두세요.

검토할 때는 3번의 매개변수 부호, 6번의 복소수 성질 적용 조건, 11번의 실수 계수와 이차항 존재 조건, 13번의 근호 안 부호와 정수 조건을 확인하세요. 17번은 경우를 나누는 경계, 21번은 자연수 조건과 길이의 부호, 22번은 실수의 존재 범위와 극값 성립 조건을 마지막까지 대조해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 부호와 계수 추출부터 정리하세요. 목표 차수를 만드는 항만 고르는 방법과 식 전체를 전개하는 방법의 계산량을 비교해 보세요(1·5번 대비).
2. 곱셈 공식의 변형과 공통부분 치환을 연습하세요. 고차의 거듭제곱 합은 낮은 차수의 관계로, 큰 수가 들어간 식은 인수 구조로 바꾸세요(7·9·16번 대비).
3. 항등식은 수치 대입과 계수 비교를 나란히 연습하세요. 몫과 나머지의 차수를 먼저 적고, 거듭제곱 뒤에도 나누어떨어지는 부분을 분리해 보세요(4·8·10·14·18·19·20번 대비).
4. 복소수는 연산과 개념 판단을 함께 복습하세요. 실수부분·허수부분을 구별하고 음수의 제곱근이 있는 곱셈과 나눗셈은 부호를 먼저 점검하세요(3·6·13번 대비).
5. 근과 계수의 관계와 판별식을 연결하세요. 실수 계수, 이차항 존재, 도형의 닮음, 접점 조건을 각각 식으로 옮긴 뒤 후보를 원래 조건에 대조하세요(2·11·12·15번 대비).
6. 함수의 최적화와 교점 활용을 마무리하세요. 끝점 선택, 꼭짓점의 위치, 좌표로 나타낸 넓이, 치환한 변수의 범위를 표시하는 습관을 들이세요(17·21·22번 대비).