잠신고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

잠신고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지부등식입니다. 다항식의 연산에서 시작해 근의 성질과 그래프의 위치 관계까지 연결됩니다.

초반에는 전개와 계수, 복소수의 계산을 확인하지만 단순 계산만 이어지지는 않습니다. 복소수 명제의 참과 거짓, 근의 거듭제곱을 포함한 분수식처럼 개념을 다른 표현으로 옮겨야 하는 문항이 함께 있습니다. 공식의 적용 조건을 설명할 수 있어야 안정적으로 접근할 수 있습니다.

후반에는 도형을 이차함수로 표현하는 문제, 판별식의 부호를 설명하는 문제, 몫과 나머지를 결합하는 문제가 나타납니다. 서술·단답형에서도 결과만 구하기보다 어떤 조건으로 식을 세웠는지 정리하는 연습이 필요합니다. 특히 후보를 얻은 뒤 부호나 정수 조건을 확인하는 과정을 생략하지 마세요.

난이도 분포 — 초중반에도 등장하는 조건 해석 문제

쉬움 문항은 1·2·4·8·10번입니다. 다항식의 부호 처리와 특정 항의 계수, 복소수의 분모 정리, 역수인 근의 관계, 접선과 판별식 등 기본 개념을 정확히 적용하는 구간입니다. 쉬움이라는 자동 분류가 검산을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 계산 구조를 고르는 연습에 적합합니다. 6번은 큰 수의 직접 계산보다 공통부분 치환이 유리하고, 13·17번은 도형의 길이 관계를 근의 합과 곱 또는 판별식으로 옮겨야 합니다. 서술·단답형의 18·20번도 기본 관계를 정확히 세우면 풀이 흐름을 잡을 수 있습니다.

어려움은 7·12번에서 먼저 등장하고 15·16번 및 19·21·22번으로 이어집니다. 식을 줄이는 아이디어, 경우 분류, 조건의 동시 처리가 서로 다른 방식으로 요구됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프와 최댓값·최솟값

이차함수는 10·11·15·16·17·18·19번에 걸쳐 출제됩니다. 접선의 조건, 제한된 범위의 최댓값과 최솟값, 도형과 판별식의 연결, 교점의 위치 관계까지 다룹니다. 완전제곱식으로 고치는 계산과 그래프를 해석하는 활동을 함께 연습하는 것이 좋습니다.

다항식과 이차방정식은 각각 4문항입니다. 다항식은 전개뿐 아니라 공통부분 치환과 완전제곱 구조를 찾는 문제로 이어집니다. 이차방정식은 근을 직접 구하는 것보다 근의 합과 곱을 활용하는 비중이 눈에 띕니다. 복소수의 켤레근이나 원의 현 관계도 이 흐름에 연결됩니다.

항등식은 12·14·21번으로, 나머지정리와 계수 비교, 수치 대입을 상황에 맞게 선택해야 합니다. 여러가지부등식으로 분류된 22번은 양의 실근 조건을 다루므로 이차방정식 학습과 함께 준비하세요. 단원별 분류와 실제 풀이에서 쓰는 개념이 서로 이어진다는 점을 기억할 필요가 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 항등식에서 이차함수로 중심 이동

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항과 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준으로는 쉬움과 어려움이 모두 늘고 보통이 줄었습니다. 이 변화는 기본형을 빠르게 확보하면서 복합 조건 문제에 시간을 남기는 준비가 필요함을 보여 줍니다.

작년에는 항등식이 7문항으로 가장 많았으나 올해는 이차함수가 7문항으로 중심을 이룹니다. 항등식은 올해 3문항이고, 이차함수는 작년 4문항에서 늘었습니다. 다항식과 이차방정식은 각각 4문항, 복소수는 3문항으로 같습니다. 올해 자료에는 여러가지부등식도 포함되어 있습니다.

작년 어려움 문항은 16·17·22번에 있었지만 올해는 7·12번에도 등장합니다. 다음 시험 준비에서는 후반 문제만 고난도로 예상하지 말고, 기본형 사이에 조건 변환 문제를 섞어 연습하세요. 이 비교만으로 다음 시험의 단원 비중이나 난도를 예측할 수는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 문항이 아니라 풀이 구조에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간에 얻은 식에 원래 조건을 다시 적용해야 한다는 것입니다. 도형의 가능 범위, 다항식의 차수, 매개변수의 허용 범위를 풀이 옆에 남겨 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근 방법이 보이는 문제부터 해결하세요. 7번에서 통분이 길어지거나 12번에서 몫의 구조가 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 초중반에도 어려움 문항이 있으므로 앞에서 막혔다고 이후 문제도 같은 부담이라고 판단하지 마세요.

서술·단답형을 마지막에 한꺼번에 시작하기보다 전체 문제를 훑으며 18·20번의 접근 가능성을 확인하세요. 19번은 판별식의 부호를 설명할 근거가, 21번은 나눗셈 항등식이 출발점입니다. 연습할 때 계산 시간과 조건을 식으로 바꾸는 시간을 구별해 기록하면 어느 부분을 보완할지 알 수 있습니다.

검토 시간에는 계산을 전부 반복하기보다 빠뜨리기 쉬운 조건을 확인하세요. 3번은 사라지는 복소수의 제외, 7번은 분모 조건, 16번은 정수와 경우별 범위, 20번은 제곱 전 식의 부호가 중요합니다. 22번에서는 근의 양수 조건과 중근 허용 여부를 따로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 부호와 필요한 항의 계수를 먼저 복습하세요. 모든 항을 전개하기 전에 목표 항을 만드는 조합을 찾아 보세요(1·2번 대비).
2. 복소수의 실수부·허수부, 켤레 연산, 명제의 반례를 묶어 연습하세요. 실수에서의 성질이 그대로 성립하는지 확인하세요(3·4·5번 대비).
3. 근과 계수의 관계로 역수와 거듭제곱, 근의 차를 표현하세요. 직접 근을 구하는 풀이와 비교해 계산을 줄여 보세요(7·8·9·13·17·18번 대비).
4. 이차함수는 완전제곱식과 그래프를 함께 사용하세요. 축과 구간의 위치를 그린 뒤 후보의 범위 및 정수 조건을 검토하세요(10·11·15·16번 대비).
5. 공통부분 치환과 나머지정리, 계수 비교를 구별해 연습하세요. 몫과 나머지의 차수를 먼저 적고 시작하세요(6·12·14·20·21번 대비).
6. 판별식과 근의 부호 조건을 결합해 풀이 근거를 써 보세요. 음이 아닌 조건과 양수 조건의 경계가 왜 다른지 설명하세요(19·22번 대비).