세화고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

세화고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

세화고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지부등식, 평면좌표, 원의방정식, 직선의방정식입니다. 이차부등식의 해와 정수 조건에서 좌표도형의 거리·접선·자취까지 연결되는 시험입니다.

초반에는 거리 공식, 완전제곱, 연립부등식의 공통 범위를 직접 적용할 수 있습니다. 이후에는 같은 거리에 있다는 조건을 좌표식으로 옮기거나, 매개변수에 따라 변하는 구간과 교점 수를 나누어 살펴야 합니다. 공식을 아는 데서 그치지 않고 적용할 대상을 고르는 연습이 필요합니다.

서술·단답형이 시험 끝에만 모여 있지 않다는 점도 특징입니다. 14번 이후에도 쉬움과 보통 문항이 있으며, 18·19번은 객관식입니다. 풀이 순서는 문항 번호보다 접근 가능성과 조건 정리에 필요한 시간을 기준으로 정하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 중후반 조건 해석으로

쉬움은 1~4번과 14번입니다. 같은 거리, 원의 중심과 반지름, 연립이차부등식, 해의 경계와 근의 관계가 중심입니다. 이 구간에서도 원의 반지름 제곱이 양수여야 한다는 조건이나 정수해의 양 끝 포함 여부를 확인해야 안정적으로 마칠 수 있습니다.

보통 문항은 기본 개념을 다른 조건과 연결합니다. 5번은 모든 실수에서 성립하는 조건, 6번은 무게중심과 거리, 10번은 입력이 바뀐 부등식의 해를 다룹니다. 20번처럼 뒤쪽에 있는 보통 문항도 놓치지 않도록 전체 구성을 먼저 확인하세요.

어려움은 7번부터 나타나며 중후반에 이어집니다. 그래프의 유효 구간, 내분과 외분, 자연수해의 개수, 서로 다른 교점의 중복 처리가 주요 부담입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감이나 문항 간 순위를 확정한 결과는 아닙니다.

출제 단원 — 부등식의 정수 조건과 좌표도형의 거리

여러가지부등식은 해를 구하는 계산뿐 아니라 해의 개수에서 매개변수를 거꾸로 정하는 유형이 중요합니다. 9번의 절댓값 거리 합과 17번의 제외 구간은 수직선으로 나타내면 구조가 분명해집니다. 12번은 앞 단계에서 정한 계수와 근의 관계를 연립부등식에 연결해야 합니다.

평면좌표는 거리 공식에서 시작해 내외분점, 직각이등변삼각형, 정육각형의 거리 비교, 정삼각형의 중심으로 확장됩니다. 어려움 문항이 11·16·18·21번에 분포하므로 공식 대입만 반복하기보다 좌표축 설정과 경우 구분의 기준을 설명하는 연습이 필요합니다.

원의방정식에서는 완전제곱과 중심에서 직선까지의 거리가 공통 도구입니다. 13번은 직선 전체와 구간이 제한된 그래프를 구별하고, 19번은 방정식의 실근을 두 원과 수평선의 교점으로 바꾸어 읽습니다. 직선의방정식 문항도 평행 조건과 같은 거리의 자취를 정확히 해석해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 기본형의 증가와 부등식 비중의 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 줄고 쉬움 문항이 생겼습니다. 다만 올해도 중후반에 조건 해석이 필요한 문항이 이어지므로, 전체 구성이 완화된 것과 후반의 개별 풀이 부담을 구분해서 보아야 합니다.

작년에는 도형의이동이 가장 많았고, 올해는 여러가지부등식이 가장 많습니다. 겹치는 단원 중 여러가지부등식은 3문항에서 7문항, 평면좌표는 5문항에서 6문항, 원의방정식은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 직선의방정식은 양쪽 모두 2문항으로, 올해 준비에서는 부등식의 정수해 조건을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

작년의 어려움은 6번부터 나타나고 서술·단답형에서는 18~23번에 이어졌습니다. 올해는 7번부터 등장하며 14·15·20번처럼 뒤쪽에도 기본 또는 중간 단계가 있습니다. 작년의 문항 위치를 풀이 순서로 고정하기보다, 올해처럼 형식과 난도가 섞인 구성을 보고 풀 수 있는 문항을 먼저 고르는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 하나의 공식 적용으로 끝나지 않는다는 것입니다. 먼저 그림이나 좌표로 구조를 정하고, 계산으로 얻은 후보를 원래 구간·중복·부호 조건으로 다시 검사해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번처럼 직접 적용할 구조가 보이는 문항을 안정적으로 처리하세요. 7·9번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하고, 14·15·20번도 살펴보세요. 서술·단답형이 시작되었다는 이유로 남은 문항 전체를 어려운 구간으로 묶지 않는 것이 중요합니다.

조건 정리가 긴 문항은 계산 전에 분류 기준을 짧게 적어 두세요. 13번은 중심 위치와 그래프 구간, 16번은 직각인 꼭짓점, 19번은 접점과 공통점, 21번은 거리의 부호가 기준입니다. 연습할 때 각 경우를 표나 그림으로 남기면 중복 계산과 누락을 줄일 수 있습니다.

검토 시간에는 모든 식을 다시 전개하기보다 경계 조건을 먼저 보세요. 4번은 원의 성립 조건, 5번은 이차항이 사라지는 경우, 8번은 서로 다른 평행선 조건을 확인하세요. 9·17번의 정수해 양 끝, 15·16번의 자연수 범위, 20번의 나눗셈 가능 조건도 별도로 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식과 원의 완전제곱을 먼저 정리하세요. 중심·반지름과 원의 성립 조건을 구분하고, 같은 거리 조건을 제곱식으로 옮겨 보세요(1·2·4번 대비).
2. 이차부등식은 해를 구하는 방향과 해에서 계수를 정하는 방향을 함께 연습하세요. 항상 성립하는 조건에서는 차수가 낮아지는 경우도 따로 확인하세요(3·5·14번 대비).
3. 절댓값과 정수해는 수직선에 포함 구간과 제외 구간을 그리세요. 대칭성과 양 끝의 포함 여부를 이용해 매개변수 범위를 정하는 연습으로 확장하세요(9·10·12·17번 대비).
4. 무게중심과 내외분점의 조건을 좌표식으로 표현하세요. 직각이등변삼각형에서는 직각의 위치를 나누고 각 좌표 후보의 범위를 검사하세요(6·11·16번 대비).
5. 점과 직선 사이의 거리로 평행선·접선·각의 이등분선을 연결하세요. 절댓값과 제곱 변형 뒤 원래 조건을 다시 확인하는 습관을 들이세요(7·8·15·20번 대비).
6. 교점 수와 도형의 거리 조건은 그림을 먼저 그리세요. 구간 밖 교점과 중복을 제거한 뒤, 정다각형의 대칭과 중심 성질을 좌표 관계로 바꾸어 보세요(13·18·19·21번 대비).