세화고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

세화고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

세화고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 방정식과 부등식의 해석을 바탕으로 좌표평면 위의 도형을 다루는 시험입니다.

도형 문제에서는 좌표를 대입하는 계산에 앞서 구조를 찾는 과정이 중요합니다. 직각삼각형의 외접원 중심, 중선의 수직 관계, 접점에서의 반지름과 접선 관계를 알아보면 필요한 식을 줄일 수 있습니다. 반대로 성질을 확인하지 않고 모든 점의 좌표부터 구하면 계산이 길어질 수 있습니다.

대수 문제도 인수분해만으로 끝나지 않습니다. 허근의 중복, 정수해가 들어가는 구간, 거듭제곱의 반복을 추가로 해석해야 합니다. 자동 분류 기준 보통 문항으로 기본 접근을 익힌 뒤, 같은 개념에 조건이 더해지는 어려움 문항으로 확장하는 학습이 적합합니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 결합에 대비

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 문항은 없습니다. 보통 문항은 1~5번과 7·8·12·17번입니다. 초반부터 절댓값의 구간 분리, 평행이동한 직선의 고정점, 도형 위 거리의 최대·최소처럼 개념 적용의 정확성을 요구합니다. 기본 공식의 암기와 함께 적용 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

6번에서 어려움 문항이 등장하지만 바로 뒤의 7·8번은 보통입니다. 9~11번은 도형의이동에 다른 조건을 결합하며, 13~16번은 허근의 개수와 원·직선의 관계, 외분점 등을 다룹니다. 막힌 문제를 붙잡기보다 다음 문항의 출발점이 보이는지 확인하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 17번이 보통이고 18~23번이 어려움입니다. 이는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 후반에는 좌표 설정에서 조건 도출까지의 연결이 길어지므로, 계산 결과뿐 아니라 중간 관계식의 근거를 짧게 남기는 습관이 도움이 됩니다.

출제 단원 — 도형의이동과 평면좌표가 중심

도형의이동은 평행이동한 직선의 고정점에서 시작해 대칭으로 생기는 도형, 넓이의 비, 최단 경로와 연속 변환으로 이어집니다. 점을 옮기는 규칙과 도형의 방정식에 대입하는 규칙을 구별하는 것이 우선입니다. 9·10번처럼 움직이는 점이 대칭의 기준점인 상황에서는 원래 점과 이동한 점 사이의 중점 관계부터 적어 보세요.

평면좌표는 두 점 사이 거리와 분점 좌표가 도형 조건으로 확장됩니다. 7번은 내분 관계를 거리의 제곱에 연결하고, 15번은 외분점과 직선의 교점을 함께 다룹니다. 서술·단답형 18·19번에서는 중점이나 무게중심을 기준으로 식을 정리하는 능력이 중요합니다.

원의방정식에서는 접선과 현의 성질을 직각삼각형의 관계로 옮기는 연습이 필요합니다. 대수 단원에서는 8번의 공통부분 치환에서 13번의 허근 중복 검사, 20번의 거듭제곱 반복으로 접근이 달라집니다. 부등식은 1번의 구간 분리를 바탕으로 6·22번의 정수해 개수 조건까지 연결하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 해설의 조건 연결 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 세운 뒤에도 제외 조건이나 예외가 남습니다. 풀이 옆에 허용 범위와 제외 대상을 따로 적고 마지막 검토에서 대조하는 연습을 권합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 보통 문항을 정확히 처리하고, 6번에서 구간 분류가 길어지면 표시한 뒤 7·8번을 확인하세요. 9~11번에서 시간이 걸리더라도 12번의 대칭을 이용한 거리 문제로 다시 접근할 수 있습니다. 객관식을 모두 끝낸 뒤에야 서술·단답형을 보는 방식보다 전체 문제의 출발점을 먼저 살피는 연습이 좋습니다.

서술·단답형에서는 17번의 변환 규칙을 정리한 뒤 자신의 강점에 맞는 문제로 넘어가세요. 18·19번은 좌표 설정과 관계식이, 20번은 허근이 만족하는 이차식과 반복 구조가 출발점입니다. 연습 중에는 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 구분해 기록하면 어느 과정을 보완할지 알 수 있습니다.

검토할 때는 답을 다시 계산하기 전에 조건을 확인하세요. 4번은 수선의 발이 선분 위인지, 10번은 접하는 경우가 제외되는지, 13번은 허근이 중복되는지가 중요합니다. 16·18번의 기울기 표현에서 나눈 양의 조건과 22·23번의 끝점 및 선분 범위도 함께 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 절댓값과 이차부등식의 해를 수직선에 표시하세요. 구간의 교집합과 끝점 포함 여부를 먼저 익힌 뒤 정수해 개수 조건을 추가하세요(1·6·22번 대비).
2. 두 점 사이 거리와 분점 좌표를 복습하세요. 내분과 외분을 구별하고 중점이나 무게중심을 원점으로 삼아 식이 간단해지는지 살펴보세요(3·7·15·18·19번 대비).
3. 직선의 방정식과 점·직선 사이 거리를 연결하세요. 거리의 최솟값에 수선의 발 조건을 붙이고 넓이의 비를 높이의 비로 바꾸세요(4·11·23번 대비).
4. 평행이동과 대칭이동은 점의 좌표 변화부터 설명하세요. 움직이는 대칭의 기준점과 연속 변환에서는 중점 관계와 적용 순서를 적으세요(2·9·10·12·17번 대비).
5. 원의 접선과 현의 성질을 도형에 표시하세요. 접점의 직각, 현의 중점, 중심과 직선 사이 거리를 연결한 뒤 매개변수의 예외를 검사하세요(5·14·16·21번 대비).
6. 사차식은 전개 전에 인수 묶음과 공통부분을 찾으세요. 판별식과 켤레근으로 허근을 구별하고, 거듭제곱은 낮은 차수의 관계로 줄여 반복을 확인하세요(8·13·20번 대비).