송림고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

송림고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

송림고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 절대부등식입니다. 집합의 원소와 포함 관계에서 출발하여 명제의 참·거짓, 함수의 대응과 합성, 부등식을 이용한 최솟값까지 다룹니다.

앞부분의 기본 개념이 뒤 문항의 도구로 이어지는 구성입니다. 집합 연산을 포함 관계로 바꾸는 판단은 명제의 진리집합 해석과 연결되고, 함수의 정의역·공역 확인은 합성함수와 역함수를 다루는 출발점이 됩니다. 단원별 공식을 따로 외우기보다 같은 조건을 말과 그림, 집합으로 바꾸는 연습이 필요합니다.

서술·단답형도 모두 같은 부담을 갖는 것은 아닙니다. 18번은 집합의 원소 개수 관계, 19번은 도형의 넓이비를 부등식으로 옮기는 문항입니다. 뒤의 20~22번은 경우 구분과 그래프, 치환 후의 범위 검토가 중요하므로 풀이의 근거를 순서대로 남기는 연습을 권합니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 후반의 조건 처리에 주의

쉬움 문항은 초반에만 있지 않습니다. 13번의 역함숫값과 18번의 집합 계산도 자동 분류 기준 쉬움에 해당합니다. 중간의 논리 판단에서 시간이 걸려도 뒤 문항을 계속 확인해야 하며, 서술·단답형이라는 이유로 기본형을 늦게 시작하지 않는 것이 좋습니다.

보통 구간에서는 7번의 집합식 정리, 10·11번의 필요·충분조건, 16번의 귀류법처럼 판단의 근거를 요구합니다. 단순 대입보다 조건을 정확히 번역하는 시간이 필요합니다. 반례를 찾을 때도 전제를 만족시키면서 결론만 어기는지 확인해야 합니다.

어려움은 17번과 20~22번에 모여 있습니다. 자동 분류 기준은 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아니지만, 해당 문항들은 여러 조건을 연속해서 처리한다는 공통점이 있습니다. 치환이나 경우 구분을 시작할 때 범위를 함께 적으면 풀이를 되짚는 시간을 줄일 수 있습니다.

출제 단원 — 집합의 비중과 합성함수·역함수의 후반 집중

집합은 원소와 부분집합의 구별, 연산 법칙, 원소 개수, 조건을 만족하는 부분집합의 개수까지 고르게 다룹니다. 8번은 벤다이어그램에서 반드시 남는 영역을 찾고, 15번은 조사 대상 전체가 합집합이라는 사실을 읽어야 합니다. 그림의 영역과 문장의 대상을 맞추는 것이 계산보다 먼저입니다.

명제는 3·10·11번에서 추론과 필요·충분조건을, 16번에서 귀류법의 연결을 확인합니다. 20번에서는 명제가 참이라는 조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸고 매개변수의 부호까지 나누어야 합니다. 포함 방향을 정확히 쓰는 기본기가 후반 문제의 출발점이 됩니다.

합성함수와역함수는 6·12·13번의 대입과 대응 관계에서 17·21·22번의 범위 및 그래프 해석으로 이어집니다. 함수 단원의 5·14번도 공역과 항등함수의 뜻을 확인하는 데 유용합니다. 절대부등식의 19번은 넓이를 길이비로 표현한 뒤 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하는 연결형입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 해설에서 확인되는 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간에 얻은 후보를 그대로 확정할 수 없다는 것입니다. 구간을 나눈 기준을 적고, 다음 단계로 넘어갈 때도 그 조건을 유지해야 풀이의 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 집합의 기본 계산과 함수의 직접 대입처럼 접근이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 3번이나 7번의 논리 정리가 길어지면 표시해 두고 다른 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 17번에 오래 머물기 전에 18번을 살펴, 풀 수 있는 서술·단답형을 남기지 않도록 하세요.

서술·단답형에서는 계산 전에 핵심 근거를 짧게 적으세요. 18번은 합집합과 교집합의 원소 개수 관계, 19번은 같은 높이를 갖는 삼각형의 넓이비가 출발점입니다. 20번은 부호별 구간, 21번은 대칭인 그래프, 22번은 치환 변수의 범위를 먼저 정리하면 이후 계산의 방향이 명확해집니다.

마지막 검토는 풀이의 조건을 중심으로 하세요. 1번은 집합 자체가 원소인 경우, 10·11번은 필요·충분조건의 방향, 14번은 구간별 식의 적용 범위를 확인해야 합니다. 19번은 등호가 실제로 성립하는지, 20번은 경계의 포함 여부, 22번은 원래 정의역 밖의 후보를 남기지 않았는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원소와 부분집합, 차집합과 여집합을 구별하세요. 중괄호가 있는 대상을 하나의 원소로 읽는 연습부터 시작하고, 연산식을 포함 관계로 바꾸어 보세요(1·2·7·9번 대비).
2. 원소 개수 문제를 벤다이어그램의 영역으로 정리하세요. 반드시 남는 영역과 자유롭게 배치할 수 있는 영역을 구별하고, 조사 대상 전체가 무엇인지 표시하세요(8·15·18번 대비).
3. 필요·충분조건을 진리집합의 포함 관계로 번역하세요. 참인 방향은 근거로, 성립하지 않는 방향은 반례로 확인하고 귀류법의 모순까지 설명해 보세요(3·4·10·11·16번 대비).
4. 함수의 정의와 합성 순서, 역함수의 입력·출력 교환을 복습하세요. 대응표를 채우거나 구간별 조건을 확인하며 함수의 뜻을 정확히 적용하세요(5·6·12·13·14번 대비).
5. 구간과 매개변수를 함께 다루는 연습을 하세요. 치환 변수의 범위, 부호에 따른 근의 순서, 함수와 역함수의 대칭을 그림으로 정리하세요(17·20·21·22번 대비).
6. 도형 조건을 부등식으로 바꾸고 등호 성립까지 쓰세요. 공통인 높이를 찾아 넓이비를 길이비로 옮긴 뒤, 양수 조건과 최솟값의 달성 가능성을 확인하세요(19번 대비).