야탑고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

야탑고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 대응 관계를 읽는 기본형부터 그래프의 대칭과 조건을 만족시키는 경우 세기까지 다룹니다.

함수 문항에서는 식을 대입하는 순서만큼 입력이 어느 구간에 속하는지가 중요합니다. 구간별로 정의된 함수의 합성, 역함수의 대응, 대칭인 그래프를 이용한 넓이가 연결됩니다. 경우의 수에서는 순열과 조합의 구분에 더해 인접 관계와 자연수 범위 등을 세는 기준으로 바꾸어야 합니다.

서술·단답형은 그래프 작성, 합성함수의 구간 해석, 조합의 성질 증명을 포함합니다. 객관식을 끝낸 뒤 남는 시간만으로 처리하기보다 풀이 근거를 적는 시간을 미리 확보하세요. 자동 분류 기준의 난도와 별개로, 그래프의 끝점 표시나 증명 과정의 연결도 준비할 필요가 있습니다.

난이도 분포 — 초반의 어려움과 후반의 연속된 조건 해석

쉬움은 1·2·4번으로, 순열·조합 기호 계산, 대응 그림에서의 함숫값, 교대 배열을 다룹니다. 보통 문항인 5·6·8·9번도 자연수의 범위, 증가·감소, 도형이 성립하지 않는 경우, 영역의 인접 여부를 먼저 확인해야 합니다.

3번이 어려움으로 분류되어 있어 번호가 앞이라고 모두 단순한 문제는 아닙니다. 10~13번에서는 유리함수의 성질과 합성·역함수의 구조를 연이어 해석하고, 15~20번에서는 기울기, 함수의 개수, 대응 조건, 교점, 배열, 넓이로 판단 대상이 바뀝니다.

서술·단답형 21·23번은 보통, 22번은 어려움입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 어려움 문항을 순서대로 모두 해결하려 하기보다 보통 문항과 서술형의 접근 가능한 부분을 먼저 확인하는 운영이 적절합니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수의 높은 비중

합성함수와역함수는 대응 그림, 구간별 대입, 역함수의 합성 순서, 반복 적용, 그래프 대칭까지 폭넓게 나옵니다. 2번의 기본 대응을 익힌 뒤 7·11·12번의 식 해석과 13·20번의 도형 해석으로 확장하고, 마지막에 22번의 구간별 그래프를 연습하세요.

순열조합은 기본 연산과 배열에서 출발해 자연수 해의 개수, 삼각형 구성, 색칠, 이웃 조건, 조합 항등식 증명까지 이어집니다. 풀이마다 무엇을 먼저 고르는지 한 문장으로 쓰면 곱의 법칙과 합의 법칙을 섞거나 같은 대상을 두 번 세는 실수를 줄일 수 있습니다.

유리함수는 점근선과 대칭, 절댓값 그래프를 중심으로 준비하세요. 무리함수는 구간에서의 최댓값·최솟값과 두 점을 잇는 직선의 기울기를 다룹니다. 단원 표에서는 21번이 유리함수로 분류되어 있지만, 실제 내용에는 무리함수 그래프 작성도 포함되어 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 합성함수와 역함수의 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 21문항에서 23문항으로 늘고 서술·단답형은 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 13문항으로 늘었으므로, 서술형 수가 줄었다는 이유만으로 풀이 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 순열조합이 7문항으로 가장 많았고 올해는 합성함수와역함수가 8문항으로 가장 많습니다. 순열조합은 올해도 7문항이지만 합성함수와역함수는 작년 5문항보다 늘었습니다. 유리함수는 3문항에서 4문항으로 늘었고, 무리함수와 함수는 각각 3문항에서 2문항으로 줄었습니다.

작년 어려움 문항은 7번부터 등장했지만 올해는 3번부터 나타납니다. 서술·단답형의 어려움은 작년 18·19·21번, 올해 22번입니다. 다음 시험 준비에서는 순열조합의 기본을 유지하면서 합성 순서와 구간 판정, 역함수 그래프를 연결하는 연습을 강화하세요. 문항 수 변화만으로 실제 성적이나 체감 난도의 변화를 단정할 수는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리와 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 후보를 얻는 계산과 후보를 허용하는 조건이 분리되어 있습니다. 풀이 옆에 사용한 범위를 적고 마지막에 그 범위로 되돌아가는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4번처럼 구조가 분명한 문항을 먼저 확보하세요. 3번에서 점근선과 역함수 관계가 바로 보이지 않으면 표시하고 다음 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 후반에서도 14번의 반복 적용처럼 풀이 흐름이 짧은 문제를 찾아, 한 문항의 경우 분류에 시간이 몰리지 않도록 연습하세요.

서술·단답형은 전체를 먼저 살펴보세요. 21번은 점근선·시작점·축과의 만남을 표시하고, 23번은 계승 표현의 정의 조건과 통분 근거를 적는 방식으로 시작할 수 있습니다. 22번은 합성 순서별 구간표를 먼저 만든 뒤 그래프와 방정식으로 옮기면 같은 조건을 반복해서 계산하는 시간을 줄일 수 있습니다.

검토 때는 숫자 계산보다 조건의 보존을 우선하세요. 10번 자료의 해설에는 원래 식의 정의역과 약분한 식의 정의역을 구별하는 주의가 있으므로, 대칭 관계를 설명할 때 제외점까지 확인해야 합니다. 18번은 수평선이 점근선 높이에 놓이는 경우, 19번은 묶음의 내부 순서와 묶음 사이의 금지 인접, 22번은 경계 포함 여부를 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 합·곱의 법칙을 복습하세요. 자연수의 시작 범위와 배열의 순서 구별을 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·4·5번 대비).
2. 대응 그림에서 합성과 역함수의 입력·출력을 추적하세요. 반복 적용에서는 매 단계 새 입력의 조건을 확인하세요(2·7·14번 대비).
3. 유리함수의 점근선과 무리함수의 정의역을 먼저 표시하세요. 대칭·평행이동·절댓값 변환을 적용한 뒤 제외점과 구간별 치역을 확인하세요(3·6·10·18·21번 대비).
4. 합성함수의 구간표를 만드는 연습을 하세요. 안쪽 함숫값과 분기 기준을 비교하고 역함수의 합성 순서 및 후보의 유효 범위를 확인하세요(11·12·22번 대비).
5. 그래프의 대칭과 기울기를 도형 성질로 바꾸세요. 두 점의 중점, 직선까지의 거리, 정의역 제한을 함께 검토하세요(13·15·20번 대비).
6. 경우의 수는 전체에서 제외할 대상과 먼저 고를 대상을 정하세요. 인접 관계, 홀짝, 증가 조건을 표로 정리하고 조합 성질의 증명도 직접 써 보세요(8·9·16·17·19·23번 대비).