언남고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

언남고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극대·극소와 최대·최소, 정적분으로 정의된 함수, 넓이와 수직선 위의 운동을 다룹니다.

미분과 적분을 따로 계산하는 데서 끝나지 않습니다. 대칭 조건으로 함수의 형태를 좁힌 뒤 극값을 구하거나, 적분 조건을 위치 변화로 해석한 뒤 원점 통과 여부를 판단하는 식의 연결이 나타납니다. 계산 전에 무엇을 미분하고 무엇을 누적하는지 정리해야 합니다.

앞부분의 기본 개념을 확보한 뒤 객관식 후반의 조건 해석에 시간을 쓸 수 있도록 연습하세요. 서술·단답형에서는 극값과 교점 개수, 서로 독립인 입력에 대한 부등식, 적분과 극한의 연결을 설명해야 합니다. 결론뿐 아니라 판단의 출발점을 적는 습관이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 어려움

쉬움은 1~3번으로, 도함수 그래프의 부호 변화, 적분상수 결정, 정적분의 기본 성질을 확인합니다. 이 구간에서는 풀이를 복잡하게 만들기보다 극값의 판정 기준과 적분 구간의 방향을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.

보통은 4~12번과 19~23번입니다. 넓이 계산이나 증가·감소 판단에도 운동 방향, 대칭, 일대일 조건처럼 먼저 해석할 조건이 붙습니다. 자동 분류 기준 보통이라는 이유로 단순 대입형으로 생각하면 접근 단계에서 시간이 길어질 수 있습니다.

어려움은 13~18번에 연속해서 배치되어 있습니다. 누적 위치, 적분함수의 성질, 외부 점에서의 접선, 구간별 거리 비교, 대칭 도형의 넓이, 절댓값 함수의 최댓값으로 이어집니다. 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수와 정적분의 활용이 중심

도함수의활용은 극값의 판정에서 접선과 실근 개수까지 폭이 넓습니다. 10·19번은 수평선과 그래프의 교점으로 방정식을 읽고, 11·12번은 도함수의 부호를 전 구간의 성질로 연결합니다. 극점만 찾는 연습에서 증가·감소와 조건 해석으로 확장해야 합니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동이 함께 나옵니다. 4·13·16번은 속도와 누적 위치 또는 거리의 관계를 다루고, 5·9·17·22·23번은 부호나 대칭, 접선 조건을 이용해 적분 구간과 피적분함수를 정합니다. 정적분을 세우는 단계가 계산만큼 중요합니다.

정적분은 기본 성질 외에도 7번의 합에서 나타나는 소거 구조, 14번의 적분함수 분석, 21번의 극한 조건으로 이어집니다. 부정적분은 2번이지만 적분상수와 초기 조건을 다루는 원리는 다른 적분 문항에서도 필요하므로 기본형을 생략하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움의 비중과 위치 변화

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 12문항에서 6문항으로 줄고 보통은 5문항에서 14문항으로 늘었습니다. 쉬움도 줄었으므로 기본형만 많아진 구성으로 읽기보다는 중간 수준의 조건 해석을 안정적으로 처리하는 연습이 필요합니다.

가장 많은 단원은 도함수의활용으로 같습니다. 정적분의활용은 7문항에서 8문항으로 늘고 정적분은 4문항으로 같으며, 부정적분은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 활용 단원의 비중이 이어지므로 극값과 넓이·운동을 연결하는 공부가 유효합니다.

작년 어려움은 10·12~22번으로 서술·단답형까지 이어졌지만 올해는 13~18번에 모여 있습니다. 올해 구성에서는 객관식 후반에 시간을 모두 쓰지 않고 서술·단답형으로 넘어가는 운영이 필요합니다. 다음 시험도 같은 배치라고 예상하기보다 전 문항을 살피는 순서를 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 비교 대상을 정확히 정해야 합니다. 위치의 부호, 접점에 대한 방정식, 최댓값 후보를 먼저 적으면 복잡한 조건을 단계별로 확인할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~12번의 기본 개념과 접근 가능한 서술·단답형을 확보하세요. 13~18번에서 조건 정리가 길어지면 현재까지 얻은 관계를 표시하고 뒤 문항을 살펴보세요. 실제 제한 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 배분보다는 모의 풀이에서 구간별 소요 시간을 기록하는 방식이 좋습니다.

서술·단답형은 출발 근거를 짧게 쓰는 연습을 하세요. 19번은 극값과 교점 개수의 관계, 20번은 독립된 입력 때문에 최대와 최소를 비교한다는 이유, 21번은 극한을 미분계수로 바꾸는 근거가 중요합니다. 22·23번은 적분식을 세우기 전에 교점과 위아래 관계를 표시하세요.

마지막 검토에서는 계산보다 조건 누락을 먼저 보세요. 운동 문제는 초기 위치와 속도의 부호, 넓이는 구간별 대소, 극값은 도함수의 부호 변화를 확인하세요. 15번의 접선 중복, 18번의 매개변수 범위, 20번의 엄격한 부등호와 정수 조건도 다시 대조해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수 그래프와 증가·감소표를 연결하세요. 도함수가 영인 지점과 실제 극점을 구분하고 일대일 조건까지 확장하세요(1·6·11·12번 대비).
2. 부정적분과 정적분의 기본 성질을 복습하세요. 적분상수, 적분 방향, 합에서 소거되는 항을 차례로 점검하세요(2·3·7번 대비).
3. 대칭 조건으로 함수의 형태를 좁히는 연습을 하세요. 그래프의 대칭과 함수의 차를 이용해 불필요한 전개를 줄이세요(8·9·10·17번 대비).
4. 속도·위치 변화량·거리를 구분하세요. 부호 있는 넓이의 누적표를 만든 뒤 방향 전환과 원점 통과를 따로 판단하세요(4·13·16번 대비).
5. 최대·최소와 접선 개수는 비교 대상을 먼저 정하세요. 내부 극점의 포함 여부와 독립된 입력 조건을 확인하세요(15·18·19·20번 대비).
6. 적분함수의 미분과 도형 넓이의 서술을 연습하세요. 적분 구간, 경계값, 위아래 관계를 적은 뒤 계산하는 순서를 고정하세요(5·14·21·22·23번 대비).