대광고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

대광고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

대광고등학교는 서울 동대문구에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 집합입니다. 함수의 기본 정의에서 시작해 합성 관계와 그래프의 교점, 조건을 만족하는 경우의 수까지 다룹니다.

함수 문항은 식을 대입하는 기본형과 조건을 다시 표현해야 하는 유형이 섞여 있습니다. 역함수의 함숫값을 원래 함수의 입력으로 되돌리거나, 합성함수의 중간 출력을 새 변수로 잡는 방식이 반복됩니다. 같은 함수 단원이어도 계산을 시작하기 전 확인할 범위가 서로 다릅니다.

경우의 수에서는 자리 배치, 자연수의 나열, 도형의 개수, 조건부 일대일대응과 부분집합을 다룹니다. 공식을 외우는 데서 끝내지 말고 무엇을 먼저 선택하며 그 선택으로 무엇이 결정되는지 설명할 수 있어야 합니다. 서술·단답형에서도 식을 세운 근거와 조건 확인을 함께 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·3·5·7·20번입니다. 역함수의 뜻, 평행이동, 대칭의 중심, 같은 함수의 정의와 여사건을 정확히 적용하면 접근할 수 있습니다. 특히 20번은 서술·단답형이지만 무리함수의 감소 성질과 구간 끝점을 확인하는 기본 흐름이므로 끝까지 미뤄 두지 마세요.

보통 문항인 6·12·16번에서는 조건을 단계별로 옮기는 과정이 필요합니다. 6번은 두 사람의 간격을 자리 차이로, 12번은 원래 입력 범위를 중간 함숫값의 범위로 바꿉니다. 16번은 바깥 함수의 입력과 원래 입력의 홀짝을 각각 판단해야 합니다.

어려움 문항은 객관식 후반뿐 아니라 4번과 8~11번에도 나타납니다. 합성의 역순, 일대일대응의 순환, 그래프의 교점 조건처럼 개념을 연결하는 데 시간이 들 수 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 확정 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수 중심의 연결

합성함수와역함수는 1·4·10·12·16·17·19번에 걸쳐 있습니다. 역함수의 함숫값부터 구간별 역함수와 합성방정식의 실근 개수까지 이어집니다. 역함수 공식을 매번 구하기보다 필요한 입력과 출력의 관계만 되돌리는 방법을 먼저 익히세요.

무리함수는 2·9·14·15·20번입니다. 이동과 최대·최소의 기본형에서 역함수와의 교점, 직선과 만나는 조건으로 확장됩니다. 특히 14·15번은 판별식을 쓰기 전에 근호가 허용하는 범위와 그래프의 시작점을 확인해야 합니다. 유리함수의 8·21번도 범위와 양수 조건이 최적화의 출발점입니다.

순열조합의 6·7·11·13번은 조건에 맞는 대상을 분류하는 연습으로 묶을 수 있습니다. 함수 단원의 18번과 집합 단원의 22번에도 경우의 수 사고가 필요합니다. 단원별 공부 뒤에는 자리 선택, 대응 선택, 부분집합 선택을 구별해 풀이의 첫 단계를 비교해 보세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 함수 중심 구성

같은 2022학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 대광고의 전체 문항 수는 지역 평균 20.6문항보다 많고 서술·단답형은 평균 4.6문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 59%로 지역 평균 34%보다 높으며, 11개교 중 2위입니다.

가장 많이 출제된 단원은 학교마다 다릅니다. 대광고와 풍문고등학교는 합성함수와역함수, 잠실여자고등학교는 집합이며 나머지 표의 학교들은 순열조합입니다. 따라서 경우의 수 연습과 함께 중간 함숫값의 범위, 역함수의 구간, 그래프에서 입력을 되찾는 과정을 충분히 준비하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 새 변수나 새 식을 만든 뒤 원래 문제의 범위로 돌아가야 한다는 것입니다. 치환값의 조건과 원래 입력의 조건을 구분해 적는 습관이 풀이 누락을 줄여 줍니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 접근 방법이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 4번에서 합성 정리가 막히면 표시하고 뒤 문항을 확인하며, 객관식 후반을 모두 마친 뒤에야 서술·단답형을 시작하려 하지 마세요. 20번처럼 기본 개념으로 접근할 수 있는 문항을 먼저 확인할 필요가 있습니다.

그래프 문제는 계산 전에 정의역과 시작점, 점근선을 짧게 표시하세요. 9·14·15번은 근호를 없애는 과정에서 부호 조건이 빠지기 쉽고, 17번은 원래 구간의 경계가 역함수에서는 출력값의 경계로 바뀝니다. 12·19번은 중간 출력의 범위를 별도로 적어 두면 되돌아가는 시간을 줄일 수 있습니다.

경우의 수는 첫 선택과 다음 선택을 문장으로 구분하세요. 11번은 직선 선택이 실제 도형으로 이어지는지, 13번은 선행하는 수와 해당 수의 순서를 구별했는지 살펴보세요. 마지막에는 21번의 양수 조건과 등호 성립, 22번의 여사건 분류가 빠짐없는지 중심으로 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 같음과 역함수의 뜻부터 확인하세요. 제한된 정의역의 원소를 대입하고 출력에서 입력을 찾는 과정을 설명해 보세요(1·5번 대비).
2. 그래프 이동과 구간의 최대·최소를 묶어 복습하세요. 시작점과 점근선을 표시한 뒤 증가·감소와 끝점의 관계를 확인하세요(2·3·8·20번 대비).
3. 합성 순서와 치환 뒤 범위를 연습하세요. 계산에 앞서 안쪽 함수의 출력 범위를 적고 원래 입력으로 돌아오는 단계를 남기세요(4·12·16·19번 대비).
4. 역함수와 교점은 구간과 부호를 함께 공부하세요. 근호의 치환 조건, 제곱 전 부호, 구간별 치역을 별도로 기록하세요(9·14·15·17번 대비).
5. 조건부 경우의 수를 분류하는 연습을 하세요. 자리 선택, 직선 선택, 자릿수별 나열, 여사건을 각각 구별하세요(6·7·11·13·22번 대비).
6. 일대일대응과 최적화로 마무리하세요. 대응의 중복 여부를 확인하고 넓이의 하한과 실제 등호 성립을 함께 서술하세요(10·18·21번 대비).