서문여자고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

서문여자고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

서문여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 이차함수입니다. 방정식과 부등식의 대수적 처리에서 좌표평면의 도형 해석까지 범위가 이어집니다.

초반에는 인수분해와 근과 계수의 관계, 절댓값 부등식처럼 익숙한 개념을 확인합니다. 이후에는 모든 실수에서 성립하는 부등식, 넓이를 나누는 직선, 공통접선 등 조건을 다른 표현으로 옮겨야 하는 문제가 나옵니다. 공식에 바로 대입하기보다 어떤 관계를 먼저 얻을지 판단하는 능력이 중요합니다.

서술·단답형도 서로 다른 준비가 필요합니다. 18번은 삼각형의 성립과 가장 긴 변에 따른 경우 구분, 19번은 접선과 원의 중심 조건, 20번은 좌표 결정과 넓이의 최댓값을 연결합니다. 계산 결과만 남기지 말고 조건을 식으로 옮긴 근거와 후보를 걸러 내는 과정을 함께 정리하세요.

난이도 분포 — 중간의 개념 전환과 객관식 후반의 연속 부담

쉬움으로 분류된 1~3번은 인수분해, 연립방정식, 해가 같은 부등식을 다룹니다. 이 구간에서는 긴 계산보다 부호와 계수 비교를 정확하게 처리하는 것이 우선입니다. 보통 문항도 6번의 완전제곱식이나 12·13번의 도형 관계처럼 접근법을 정해야 하므로, 익숙한 공식이 보인다는 이유로 조건 확인을 생략하지 마세요.

8번과 10번은 각각 그래프 사이의 직선과 고차방정식의 근의 성질을 다룹니다. 여기서 막히더라도 뒤의 9번이나 11~13번까지 함께 미루지 않는 운영이 필요합니다. 객관식 14~17번은 자동 분류 기준 어려움이 연속되므로, 앞부분에서 확보한 시간을 여러 단계의 조건 해석에 쓸 수 있어야 합니다.

서술·단답형 18·19번은 보통, 20번은 어려움입니다. 서술형이라는 형식만으로 모든 문제를 마지막에 남기기보다 먼저 전체 구조를 살펴보세요. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 부등식과 원을 중심으로 대수와 도형 연결

여러가지부등식은 해의 일치, 공통해의 부재, 항상 성립하는 조건, 도형의 넓이와 변의 길이까지 폭넓게 다룹니다. 7번처럼 수직선에서 구간이 겹치는지를 보는 문제와 8번처럼 그래프 사이의 관계를 보는 문제를 구분해야 합니다. 11·18번은 도형이 실제로 성립하는 범위를 먼저 확보한 뒤 부등식을 풀어야 합니다.

원의방정식은 지름과 현을 다루는 4번에서 접선 관계를 다루는 12·17·19번, 거리와 넓이를 연결하는 20번으로 이어집니다. 중심과 반지름을 구하는 계산에 더해, 접점에서 반지름이 수직이라는 사실과 중심에서 직선까지의 거리를 활용할 수 있어야 합니다. 그림의 보조선이 계산을 줄여 주는 단원입니다.

직선의방정식에서는 기울기뿐 아니라 닮음, 넓이비, 중점과 무게중심이 함께 쓰입니다. 여러가지방정식은 허근의 거듭제곱을 직접 계산하기보다 근이 만족하는 관계를 이용하는 방향으로 확장됩니다. 출제 수가 적은 평면좌표와 이차함수도 최솟값과 근의 성질을 다루므로 기본 개념을 빼놓지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 문제를 다른 관계로 바꾸어야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때 첫 식을 왜 선택했는지, 마지막 후보를 어떤 조건으로 확인했는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 관계를 정확하게 처리하고, 8·10번에서 접근이 잡히지 않으면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 객관식 14~17번이 연속된 어려움 구간이므로 앞에서 한 문제에 오래 머물면 후반 검토 시간이 줄어듭니다. 연습할 때는 문제별 계산 시간뿐 아니라 첫 관계식을 찾는 데 걸린 시간도 기록해 보세요.

서술·단답형은 시작 조건을 짧게 적어 놓고 계산하세요. 18번에서는 길이가 양수인 범위와 가장 긴 변의 구분을, 19번에서는 절편과 중심 좌표의 부호를 먼저 표시하는 것이 좋습니다. 20번은 앞에서 구한 가능한 점을 빠뜨리지 않도록 경우별 밑변을 정리한 뒤 넓이의 최댓값을 비교하세요.

마지막 확인은 조건의 경계와 부호에 집중하세요. 7번은 공통해가 없는 상황에서 끝점의 포함 여부, 11번은 나누는 식의 양수 여부, 13번은 넓이비와 길이비의 구별이 중요합니다. 16·17·19번에서는 계산으로 나온 좌표가 사분면과 부호 조건을 만족하는지 확인하면 불필요한 후보를 걸러 낼 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해와 근과 계수의 관계를 먼저 복습하세요. 허근이 만족하는 식을 이용해 거듭제곱을 줄이는 연습으로 확장하세요(1·2·5·10번 대비).
2. 부등식의 해를 수직선으로 나타내세요. 같은 해, 공통해가 없는 조건, 경계의 포함 여부를 구별하세요(3·7번 대비).
3. 항상 성립하는 부등식을 그래프의 위치와 판별식으로 바꾸세요. 함수의 차와 근의 합·곱도 함께 정리하세요(8·14번 대비).
4. 도형의 닮음과 넓이비를 길이 관계로 바꾸세요. 길이의 양수 조건과 삼각형 성립 조건까지 적는 연습을 하세요(11·13·15·18번 대비).
5. 좌표 계산은 중점·무게중심·거리 공식을 연결해 연습하세요. 최솟값은 완전제곱식으로 정리하고 수직 조건의 예외를 확인하세요(6·9·16번 대비).
6. 원의 중심과 반지름을 표시한 그림에서 현과 접선의 보조선을 그리세요. 닮음, 중심에서 직선까지의 거리, 넓이의 최대 높이로 연결하세요(4·12·17·19·20번 대비).