보성고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

보성고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식입니다. 방정식과 부등식의 해석에서 좌표를 이용한 거리와 넓이 계산까지 이어지는 시험입니다.

대수 문항에서는 인수분해를 출발점으로 삼되, 실근과 허근을 구별하거나 부등식의 해에서 정수를 골라내는 후속 판단이 필요합니다. 계산 결과만 얻고 멈추기보다 해의 범위가 왜 그렇게 정해지는지 설명할 수 있어야 합니다.

좌표 문항은 거리 공식을 단독으로 묻는 데 그치지 않습니다. 외심과 무게중심, 각의 이등분선, 같은 넓이 등의 도형 조건을 좌표 관계로 옮겨야 합니다. 서술·단답형은 뒤쪽에 모여 있지만 19번은 객관식이므로, 번호만 보고 응답 형식을 판단하지 않도록 하세요.

난이도 분포 — 중간에도 등장하는 조건 해석의 고비

쉬움으로 분류된 1번은 주어진 근과 근과 계수의 관계를 연결합니다. 보통 문항이 중심이지만 3번의 의자 배치, 8번의 정수해, 14번의 넓이 조건처럼 문장을 수학적 조건으로 바꾸는 작업은 필요합니다. 보통이라는 분류를 단순 대입형이라는 뜻으로 읽어서는 안 됩니다.

7번에서 근의 종류를 판별한 뒤 9·10번에서는 항상 성립하는 부등식과 중근 조건을 다룹니다. 앞부분의 어려움 문항에 풀이 시간이 길어지더라도 11~14번의 좌표 기본 유형을 확인할 기회를 남겨 두세요. 끝까지 순서대로만 푸는 전략은 점검이 필요합니다.

후반의 15·17·19번은 각각 도형 성질의 연결, 정수해가 없는 구간, 조각별 그래프 해석에서 부담이 생깁니다. 반면 20·21번은 자동 분류 기준 보통입니다. 이 난이도는 실제 응시자의 체감과 동일하다고 단정할 수 없지만, 후반에도 접근 가능한 문항이 있다는 점은 시간 운영에 참고할 만합니다.

출제 단원 — 부등식과 평면좌표의 비중

여러가지부등식은 생활 조건의 식 세우기부터 그래프의 위치 관계까지 폭이 넓습니다. 4·8·17번은 해집합의 경계와 정수 조건이 중요하고, 9·10·19번은 판별식을 다른 조건과 결합합니다. 부등식만 계산하는 연습과 계산 결과를 조건에 맞게 해석하는 연습을 함께 하세요.

평면좌표에서는 11번의 거리 최소화와 20번의 같은 거리에 있는 점처럼 거리의 제곱이 유용합니다. 12·18번은 내분·외분 관계를 좌표로 나타내며, 15번은 무게중심과 각의 이등분선 성질을 연결합니다. 도형을 보자마자 모든 좌표를 미지수로 두기보다 원점과 축을 어디에 잡을지 먼저 판단하세요.

여러가지방정식에서는 인수분해와 근의 종류, 직선의방정식에서는 점과 직선 사이의 거리가 반복됩니다. 6번은 정점을 지나는 직선의 거리 최댓값, 14·21번은 높이를 이용한 삼각형 넓이입니다. 공식을 암기한 뒤 각 공식의 기하적 의미까지 설명하는 연습이 효과적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통이 중심으로 이동

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 6문항으로 줄었지만 쉬움도 5문항에서 1문항으로 줄었습니다. 따라서 어려움의 감소만으로 시험 전체가 쉽게 풀리는 구성이라고 단정하기보다, 보통 문항을 안정적으로 처리하는 능력의 비중이 커졌다고 해석하는 편이 적절합니다.

가장 많은 단원은 여러가지방정식에서 여러가지부등식으로 바뀌었습니다. 평면좌표는 작년 3문항에서 올해 6문항으로 늘었고, 올해 자료의 출제 단원에는 원의방정식이 없습니다. 작년 단원 비중을 그대로 적용하기보다 부등식의 해석과 좌표의 거리·분점 관계를 충분히 연습하세요.

작년에는 19·20·21번이 모두 어려움으로 분류되었으나 올해는 이 구간에서 19번이 어려움입니다. 올해는 9·10번처럼 중간에도 어려움이 이어지므로, 끝번호만 따로 대비하는 방식은 충분하지 않습니다. 서술·단답 문항 수가 줄었어도 17번의 경계 판단과 21번의 과정 작성은 별도로 연습할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 연결해야 할 조건을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 중간 계산 결과를 그대로 채택할 수 없다는 것입니다. 길이비의 대응, 정수의 포함 여부, 접점의 소속 구간처럼 후보를 검증하는 단계까지 풀이에 포함하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 인수분해나 거리 공식의 출발점이 보이는 문항부터 확보하세요. 7번이나 9·10번에서 조건 정리가 길어지면 표시한 뒤 좌표 문항을 확인하는 것이 좋습니다. 15번의 도형 연결에 시간을 모두 쓰지 않도록 후반의 18·20·21번도 먼저 훑어보세요.

서술·단답형은 계산과 근거를 함께 준비하세요. 16번은 허근을 갖는 이유를 판별식 조건으로, 17번은 정수가 없는 이유를 구간의 경계로 정리해야 합니다. 21번은 활용하도록 제시된 거리와 직선 방정식의 과정을 따라 작성하는 연습이 필요합니다. 연습 중에는 조건 해석에 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토는 모든 계산을 반복하기보다 조건을 중심으로 하세요. 3번은 마지막 의자의 사용 조건, 7번은 실근에 포함되는 경계, 10·13번은 계수의 정수 조건이 중요합니다. 18번은 외분의 부호, 19번은 접점의 구간, 20번은 좌표가 아니라 거리를 요구한다는 점을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해와 근과 계수의 관계를 복습하세요. 주어진 근을 대입한 뒤 남은 근의 관계나 연립식의 경우 분류로 연결하세요(1·2번 대비).
2. 부등식은 수직선에 해를 표시하는 연습부터 하세요. 공통부분과 끝점 포함 여부를 적은 뒤 생활 조건과 정수 조건으로 확장하세요(3·4·8·17번 대비).
3. 판별식의 용도를 구별하세요. 허근의 존재, 모든 실수에서의 부등식 성립, 중근 조건을 각각 말로 설명한 뒤 식을 세우세요(7·9·10·16번 대비).
4. 거리의 제곱과 내분·외분 공식을 정리하세요. 좌표 설정을 먼저 하고 무게중심이나 같은 거리 조건으로 연결하세요(5·11·12·18·20번 대비).
5. 점과 직선 사이의 거리를 높이와 연결하세요. 정점을 지나는 직선의 거리 상한과 같은 넓이 조건을 그림으로 확인하세요(6·13·14·21번 대비).
6. 도형 성질의 연결과 조각별 그래프를 별도로 연습하세요. 각 단계에서 얻은 비율과 접점 후보가 원래 조건을 만족하는지 검토하세요(15·19번 대비).