보인고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

보인고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 여러가지부등식, 복소수, 이차함수입니다. 좌표와 도형의 관계가 중심이지만 부등식의 해석과 함수의 교점 조건까지 함께 준비해야 합니다.

같은 거리 공식도 용도가 달라집니다. 두 점 사이의 거리를 직접 계산하는 기본형에서 출발해, 삼각형의 넓이를 높이로 바꾸거나 원의 접선과 현을 중심에서의 거리로 해석하는 문제로 이어집니다. 공식의 암기뿐 아니라 어떤 점과 어떤 직선 사이의 거리가 필요한지 고르는 능력이 중요합니다.

객관식 중반부터 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지고, 서술·단답형에는 기본형과 복합형이 섞여 있습니다. 앞에서 막힌 문제를 계속 붙잡기보다 전체 문항에서 출발점이 보이는 문제를 찾는 운영이 필요합니다. 풀이를 쓸 때는 계산식보다 조건이 거리나 구간으로 바뀌는 이유를 먼저 적어 보세요.

난이도 분포 — 객관식 중반부터 이어지는 조건 연결

쉬움으로 분류된 1~3번은 거리, 평행이동, 복소수의 기본 계산을 확인합니다. 16번도 연립일차부등식의 공통부분을 구하는 기본형입니다. 이 구간은 좌표의 차, 이동 방향, 켤레복소수의 부호를 정확히 처리해 검산까지 마치는 연습이 좋습니다.

4번에서 원의 성질을 여러 관점으로 판단한 뒤, 6~10번에서는 대칭과 접선, 이등변삼각형의 경우 분류, 넓이와 판별식이 이어집니다. 어려움의 이유는 복잡한 전개 자체보다 조건 사이의 연결에 있습니다. 필요한 보조선이나 분류 기준을 못 정하면 계산을 시작하기까지 시간이 길어질 수 있습니다.

11·12번과 서술·단답형의 17·19·20번은 자동 분류 기준 보통이지만, 내분과 외분의 대응이나 최댓값·최솟값의 변환을 정확히 해야 합니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 지표가 아닙니다. 특히 18번은 접선과 현의 조건을 연속해서 적용하므로 별도로 풀이 흐름을 점검하세요.

출제 단원 — 원의방정식과 거리 해석의 비중

원의방정식은 원의 표준형을 읽는 단계에서 끝나지 않습니다. 4번은 반지름과 축에 대한 위치, 7번은 교점으로 만든 삼각형, 8·18번은 접선과 현을 함께 다룹니다. 12·20번에서는 원 위의 조건을 식의 범위로 바꾸므로, 도형 해석과 함수의 최댓값·최솟값을 연결해 복습하세요.

도형의이동은 2번의 평행이동에서 6번의 대칭과 접선, 13번의 경로 최소화로 확장됩니다. 대칭이동 후에도 보존되는 길이를 찾는 것이 공통 기반입니다. 직선의방정식의 9·19번은 삼각형의 넓이를 점과 직선 사이의 거리로 바꾸므로 원 단원의 거리 공식 활용과 함께 묶어 공부할 수 있습니다.

여러가지부등식에서는 항상 성립하는 조건, 해의 존재, 공통부분을 구별해야 합니다. 5번의 모든 실수 조건과 15번의 해가 존재한다는 조건은 요구하는 논리가 다릅니다. 복소수 3번과 이차함수 10번도 빠뜨리지 말고, 기본 계산과 자연수 조건을 포함한 판별식 활용을 각각 정리하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건의 연결과 검증 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준으로도 어려움에 해당합니다. 공통적으로 계산 전에 그림을 정리하고, 계산 후에는 얻은 관계가 원래 도형에서 성립하는지 되돌아보는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 계산을 정확히 마친 뒤, 4번이나 6번에서 접근이 멈추면 표시하고 다음 문제를 확인하세요. 객관식 중반을 모두 해결한 후 서술·단답형으로 가겠다고 정하면 16·17·19번의 출발점을 볼 기회가 줄어듭니다. 연습에서는 전체를 훑으며 바로 풀 문제와 재검토할 문제를 구분해 보세요.

원 문제는 그림에 중심, 반지름, 수선의 발부터 표시하세요. 8·18번은 같은 직선에 대한 거리라도 어느 원의 중심에서 잰 것인지 나누어 써야 합니다. 13번은 대칭 순서를 기록하고 실제 경로를 확인할 여유를 남기세요. 계산을 줄이려다 조건 설명을 생략하면 다시 그림을 해석하는 데 시간이 들 수 있습니다.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 7번은 이등변이 되는 변의 조합, 9번은 기울기의 부호, 10번은 자연수와 서로 다른 교점 조건이 중요합니다. 15·16번에서는 경계를 포함하는지, 20번에서는 구한 범위가 근호 안의 값인지 원래 식의 값인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식과 이동의 부호부터 정리하세요. 좌표의 차와 방정식의 대입 방향을 말로 설명한 뒤 계산해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 원의 표준형과 자취를 복습하세요. 거리 조건에서 원을 만들고 중심과 반지름으로 해석하는 과정을 연결하세요(4·17번 대비).
3. 중심에서 직선에 내린 수선으로 접선과 현을 묶어 공부하세요. 정삼각형의 높이 관계도 같은 그림에 표시하세요(7·8·14·18번 대비).
4. 대칭이동으로 보존되는 길이를 찾으세요. 한 번의 대칭부터 경로를 펼치는 연속 대칭으로 확장하고 실현 가능성을 확인하세요(6·13번 대비).
5. 넓이와 거리, 내분·외분의 대응을 연습하세요. 좌표를 모두 구하기 전에 높이와 밑변의 관계를 먼저 정하세요(9·11·19번 대비).
6. 항상 성립, 교점, 공통해의 존재 조건을 구분하세요. 판별식과 수직선에서 경계를 포함하는 이유를 직접 써 보세요(5·10·15·16번 대비).
7. 원 위의 식을 새로운 변수의 범위로 바꾸는 유형을 연습하세요. 변수의 구간을 정한 뒤 꼭짓점·끝점과 근호 변환을 검토하세요(12·20번 대비).