서울고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

서울고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지부등식과 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 계산과 좌표를 이용한 도형 해석을 함께 준비해야 하는 범위입니다.

초반에는 복소수의 덧셈, 그래프와 축의 교점, 연립일차부등식, 직선의 방정식처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후 중근 조건을 항등식으로 바꾸거나 이차함수의 축과 정의역을 비교하는 문제가 이어집니다. 계산을 시작할 식을 정확히 세우는 것이 중요합니다.

좌표 문항도 단순 대입에만 머무르지 않습니다. 각의 이등분선으로 내분비를 얻고, 점과 직선 사이의 거리를 삼각형의 높이로 해석하며, 원의 중심에서 현에 내린 수선을 이용합니다. 도형 성질을 먼저 적으면 필요한 좌표 계산을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중간 번호의 함수 문항과 서술형 조건 분류

쉬움은 1~5번과 13·14번입니다. 앞부분에서 기본 계산을 정확히 처리하고, 중간에 어려운 문제를 만나더라도 뒤의 좌표 기본형까지 확인하세요. 번호가 뒤로 갈수록 일관되게 어려워지는 배열은 아닙니다.

보통은 6·7·8·11·12·15·16·17·20·21·22번입니다. 판별식과 근과 계수의 관계, 좌표와 거리 공식을 상황에 맞게 연결하는 문제가 중심입니다. 자동 분류 기준 보통이어도 예외 조건이나 도형 성질을 놓치면 풀이가 길어질 수 있습니다.

어려움은 9·10·18·19번입니다. 함수의 형태를 복원하거나 구간별 최솟값을 구하고, 근의 절댓값 비에서 부호를 나누는 과정이 필요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 성적 분포를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 이차함수 중심, 좌표와 도형 성질의 연결

이차함수는 2·8·9·10·19번으로 가장 많이 나옵니다. 축과의 교점에서 출발해 접함과 교점 개수를 판별식으로 표현하고, 꼭짓점과 제한된 범위의 최대·최소로 확장됩니다. 특히 9·10·19번은 어려움으로 분류되어 있어 함수 단원에서는 기본형과 조건 해석형을 함께 연습해야 합니다.

평면좌표는 13·14·15·22번입니다. 외분점, 대각선의 중점, 각의 이등분선, 무게중심을 좌표로 표현합니다. 공식을 외우는 데서 끝내지 말고 선분의 방향과 비가 어떤 점의 좌표에 곱해지는지 그림으로 확인하세요.

이차방정식은 6·7·18번에서 중근, 근과 계수, 근의 부호를 다룹니다. 부등식의 11번도 이차항의 계수와 판별식을 함께 확인해야 하므로 연결해서 학습할 수 있습니다. 직선과 원의 문항에서는 거리 공식의 사용 목적을 먼저 정하는 것이 효율적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 이차함수 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 7문항에서 올해 4문항으로 줄고 쉬움은 늘었습니다. 다만 이 변화만으로 실제 응시자의 점수나 시험 전체의 체감 난도를 단정할 수는 없습니다.

작년에는 직선의방정식이 7문항으로 가장 많았고 올해는 3문항입니다. 이차함수는 3문항에서 5문항, 평면좌표는 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 따라서 좌표 기하에서는 중점과 내분을, 함수에서는 축과 구간을 비교하는 연습에 비중을 둘 만합니다.

작년 어려움은 객관식 13·14·15번과 서술·단답형 18·19·20·22번이었습니다. 올해는 객관식 9·10번과 서술·단답형 18·19번에 놓입니다. 다음 시험 대비에서는 뒤 번호만 고난도로 예상하지 말고, 중간에 함수 문제가 길어질 때 다른 문항을 먼저 확보하는 운영도 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 정해진 순위는 아닙니다. 공통점은 경우를 나누기 전 계산을 시작하면 불필요한 후보가 생긴다는 것입니다. 분류 기준, 계산 결과, 원래 조건 확인을 구분해서 적는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 개념이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 9·10번에서 풀이가 길어지면 표시하고 13·14번 같은 좌표 기본형을 확인할 수 있습니다. 객관식을 번호 순서대로 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 전체 구성을 먼저 훑어 보세요.

서술·단답형에서는 17번의 주기, 20번의 높이, 21번의 중심과 현, 22번의 내분 관계처럼 출발할 성질을 먼저 적어 두세요. 18·19번에 필요한 경우 분류를 할 시간을 남겨야 합니다. 연습할 때는 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 따로 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

검토에서는 8번의 서로 다른 교점 조건, 11번의 이차항 소멸, 13번의 외분 방향을 우선 확인하세요. 18번은 근의 부호와 비의 성립, 19번은 구간의 경계가 핵심입니다. 20번은 거리의 절댓값을 없앨 수 있는 이유, 21번은 계산한 길이가 현 전체인지도 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 복소수의 성분 계산과 거듭제곱의 반복 구조를 복습하세요. 반복 조건을 자연수 범위에서 세는 연습으로 연결하세요(1·5·17번 대비).
2. 중근 조건, 근과 계수의 관계, 근의 의미를 묶어 정리하세요. 모든 매개변수에서 성립하는 조건과 특정 값에서만 성립하는 조건을 구별하세요(6·7·18번 대비).
3. 이차함수의 꼭짓점 형태와 판별식을 연결하세요. 접함과 서로 다른 교점을 식으로 표현한 뒤 함수의 합에서도 최대·최소를 다시 구하세요(2·8·9번 대비).
4. 축이 구간 안과 양쪽 바깥에 있는 유형, 절댓값으로 그래프가 나뉘는 유형을 연습하세요. 각 경우의 경계와 근의 소속 구간을 표시하세요(10·19번 대비).
5. 부등식은 해의 교집합과 항상 성립하는 조건을 구별하세요. 이차항이 사라지는 예외를 먼저 검토하는 습관을 들이세요(3·11번 대비).
6. 내분·외분·중점·무게중심을 간단한 그림과 함께 복습하세요. 직각과 각의 이등분선 조건을 좌표식으로 옮기는 연습도 하세요(12·13·14·15·22번 대비).
7. 원의 중심을 정하는 거리 관계와 점과 직선 사이의 거리를 연습하세요. 거리로 높이나 현의 길이를 표현하는 목적을 먼저 설명해 보세요(4·16·20·21번 대비).