잠일고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

잠일고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차는 삼각함수의 관계와 그래프, 사인법칙·코사인법칙의 활용에서 시작해 등차·등비수열, 여러 가지 수열의 합, 귀납적으로 정의된 수열과 수학적귀납법까지 다룹니다. 삼각함수와 수열을 함께 정리해야 하는 범위입니다.

초반에는 삼각방정식과 도형의 길이·각 관계를 확인하고, 중반에는 수열의 일반항과 합을 계산합니다. 이어 부분합 사이의 관계, 반복되는 점화식, 여러 조건이 결합된 등차·등비수열로 연결됩니다. 단원별 공식을 따로 암기하기보다 주어진 표현을 익숙한 형태로 바꾸는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 삼각부등식, 삼각형의 조건 해석, 귀납법 증명, 구간별 부분합을 이용한 수열의 합으로 구성됩니다. 객관식의 어려움 문항 뒤에도 보통 난이도의 서술 문항이 있으므로 번호 순서에만 매달리지 않고 답안 작성 시간을 확보하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 마지막 수열 문항에 어려움 집중

난이도는 자동 분류 기준이며, 표의 비중은 반올림한 값입니다. 쉬움 문항은 초반 삼각함수와 중반의 등차·등비수열 기초에 나뉘어 있습니다. 특히 8~10번은 항의 간격, 등차중항, 등비수열의 항 사이 관계를 정확히 읽어 풀이 시간을 줄일 수 있는 구간입니다.

보통 문항에서는 계산보다 변환 방향이 중요합니다. 2번은 중근 조건을 삼각방정식으로, 13번은 근의 역수의 합을 부분분수 형태로, 15번은 부분합의 차를 홀수·짝수 번째 항으로 바꿉니다. 출발점을 찾지 못하면 같은 난이도 안에서도 시간이 길어질 수 있습니다.

어려움인 17·18번은 각각 등비수열의 묶음 합과 등차수열의 부분합 구조를 다룹니다. 22번은 부분합의 식이 달라지는 경계와 띄엄띄엄 선택한 항의 첨자를 함께 검토합니다. 어려움 문항 수가 적다는 이유로 후반까지 시간 여유가 보장되는 시험으로 해석해서는 안 됩니다.

출제 단원 — 등차등비수열의 비중과 부분합 해석

등차등비수열은 기본형부터 분석상 고난도 문항까지 이어집니다. 8·9번의 등차수열 관계와 10·11번의 등비수열 관계를 익힌 다음, 14번의 변형된 수열과 17·18번의 부분합 조건으로 확장하는 학습 순서가 적절합니다. 일반항과 합을 별개의 공식으로 외우기보다 서로 오가는 연습이 필요합니다.

삼각함수그래프에서는 그래프를 정교하게 그리는 능력뿐 아니라 제한된 범위에서 해를 빠짐없이 찾는 능력을 확인합니다. 삼각함수활용에서는 변과 대각을 대응시키고 사인법칙·코사인법칙을 선택해야 합니다. 특히 7번은 원에 내접한 사각형의 각 관계를 먼저 읽어야 후속 계산이 연결됩니다.

수학적귀납법으로 분류된 문항도 내용은 구별해야 합니다. 15·16번은 귀납적으로 정의된 수열의 규칙을 해석하는 문항이고, 21번은 부등식을 직접 증명하는 문항입니다. 점화식 계산이 된다고 귀납법 증명까지 준비됐다고 판단하지 말고 따로 답안을 써 보세요.

문항별 정리

아래 난이도는 자동 분류 기준입니다. 각 문항은 풀이의 출발점과 조건 확인에 초점을 맞춰 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 수열의 표현을 바꾼 뒤에도 원래 조건을 유지해야 한다는 공통점이 있습니다. 묶음 합, 부분합의 곱, 선택된 항의 합처럼 겉모양은 다르지만 먼저 구조를 정리하고 마지막에 조건을 되짚는 풀이 순서가 유효합니다. 계산을 시작하기 전에 사용할 표현과 검토할 조건을 나란히 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·3번과 8~10번처럼 기본 관계가 바로 보이는 문항을 안정적으로 처리하세요. 보통 문항도 변환 방법이 떠오르면 먼저 풀되, 4번의 항별 계산이나 7번의 복잡한 도형 계산에 바로 매달리지는 마세요. 대칭으로 묶을 수 있는지, 각 관계를 먼저 정리할 수 있는지 확인하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

17·18번에서 식을 세운 뒤 진전이 멈추면 표시해 두고 19~21번 답안 작성을 진행하는 방법이 좋습니다. 21번은 증명의 연결 문장을 써야 하므로 계산 결과만 메모해 두는 것으로 충분하지 않습니다. 22번도 일반항 정리와 합 계산을 나누어 진행하고, 앞부분에서 확인한 구간을 답안에 남기세요.

마지막 검토에서는 1·2·19번의 각의 범위와 끝점 포함 여부, 5·7번의 삼각함수 부호, 10·11번의 공비 조건을 확인하세요. 수열에서는 15번의 홀짝 첨자 대응, 16번의 반복 후 남는 항, 18번의 부호에 관한 가정, 22번의 경계 전후를 살펴보세요. 숫자 계산만 다시 하는 것보다 이런 조건을 원문과 대조하는 검산이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 삼각방정식·부등식의 범위 확인부터 연습하세요. 치환한 각의 범위와 원래 각의 범위를 함께 적고, 그래프에서 끝점 포함 여부를 확인합니다(1·2·19번 대비).
2. 삼각함수의 대칭 관계와 그래프 변형을 정리하세요. 합을 이루는 항을 짝짓고, 최댓값·최솟값과 그 값을 갖는 위치를 구별합니다(4·6번 대비).
3. 사인법칙·코사인법칙을 도형 조건에 맞춰 선택하세요. 변과 대각의 대응, 내접사각형의 각 관계, 인수분해 뒤의 경우를 설명하는 연습을 합니다(3·5·7·20번 대비).
4. 등차·등비수열의 기본 관계에서 변형으로 확장하세요. 중항과 합을 정리한 뒤, 묶음 합과 부분합의 항등식까지 연결하고 부호 조건을 검토합니다(8·9·10·11·14·17·18번 대비).
5. 수열의 합은 소거 구조와 구간 구분을 나누어 연습하세요. 유리화·부분분수로 항을 정리하고, 구간별 부분합에서 일반항과 선택된 항의 합을 구합니다(12·13·22번 대비).
6. 점화식 해석과 귀납법 증명을 각각 작성하세요. 홀짝 규칙과 반복 주기를 찾은 다음, 별도로 귀납 가정에서 다음 단계의 부등식까지 이어지는 답안을 완성합니다(15·16·21번 대비).