천안고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

천안고 고2 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

천안고등학교는 충남 천안시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 내용은 삼각함수의 활용과 수열입니다. 사인법칙·코사인법칙과 도형의 넓이, 등차·등비수열, 시그마를 이용한 합, 귀납적으로 정의된 수열과 수학적 귀납법을 다룹니다.

기본 계산과 구조 해석이 번갈아 나옵니다. 앞부분에서는 공차 계산과 거듭제곱의 합처럼 공식을 적용하는 문제가 있지만, 이후에는 음의 공비에 따른 부호 변화, 부분합 사이의 관계, 도형의 닮음을 수열과 연결하는 판단이 필요합니다. 수열 문제라고 모두 같은 계산 절차로 접근하기는 어렵습니다.

서술·단답형은 15~18번입니다. 평행사변형의 각, 코사인법칙, 차이로 정의된 수열의 합, 사각형 속 삼각형의 각을 다룹니다. 계산 결과뿐 아니라 사용할 법칙과 조건을 고른 근거까지 정리하는 연습이 도움이 됩니다. 특히 18번은 풀이 과정을 함께 요구하므로 계산에 들어가기 전에 논리의 순서를 잡아야 합니다.

난이도 분포 — 중반 이후의 조건 해석에 대비

자동 분류 기준 쉬움은 2·3·4번입니다. 등차수열의 항 사이 관계, 자연수의 거듭제곱의 합, 귀납식으로 표현된 등비수열을 확인합니다. 이 구간에서는 긴 식을 만들기보다 항 번호의 차이와 합 공식의 종류를 정확히 읽어 계산 실수를 줄이세요.

보통 구간에서도 조건 확인은 필요합니다. 5번은 음의 공비와 항 번호의 홀짝을 함께 보아야 하고, 8번은 합의 첨자를 바꾸면서 처음과 끝의 항을 조정해야 합니다. 12·13번은 각각 누적합을 이용한 귀납식과 증명의 논리를 다루므로 단순 대입 속도만으로 준비하기 어렵습니다.

어려움은 10·11번에서 시작해 14번과 17~19번에 배치됩니다. 12·13번, 15·16번에는 보통 문항이 있으므로 어려운 문제에서 멈추더라도 뒤쪽을 살펴볼 가치가 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 풀이 부담은 학생이 익숙한 개념과 표현 방식에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 등차등비수열의 비중과 연결 문제

등차등비수열에서는 기본 일반항부터 합의 비, 절댓값이 있는 합, 도형의 닮음, 배열 조건까지 연결됩니다. 같은 단원 안에서도 풀이의 출발점이 다릅니다. 공식을 고르기 전에 항끼리 비교할지, 같은 길이의 구간을 묶을지, 등차중항이나 등비중항을 사용할지 구분해야 합니다.

수학적귀납법으로 분류된 문항을 모두 증명 문제로 생각하면 학습 방향이 좁아집니다. 4·9·12번은 귀납적 정의에서 항을 찾는 내용이고, 13번은 수학적 귀납법의 증명 흐름, 17번은 이웃한 항의 차이를 누적하여 합을 구하는 내용입니다. 단원 이름과 실제 풀이 기능을 함께 보세요.

삼각함수활용은 1번과 15·16·18번에 있습니다. 사인법칙과 코사인법칙을 따로 암기하는 데서 끝내지 말고, 길이를 구한 뒤 각을 판단하는 연결을 연습하세요. 수열의합은 3·7·8번으로, 합 공식뿐 아니라 주기 묶기와 첨자 변경도 준비해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 여기서는 조건 해석의 부담을 바탕으로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 식을 세운 뒤에도 후보가 원래 조건에 맞는지 다시 검토해야 한다는 점입니다. 계산을 마치는 것과 풀이를 완성하는 것을 구별해 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 2·3·4번처럼 풀이 구조가 바로 보이는 문항을 안정적으로 처리하고, 10·11번에서 진전이 없으면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 12·13번과 15·16번까지 살펴본 후 돌아오면 한 문제에 시간을 몰아 쓰는 일을 줄일 수 있습니다. 19번이 객관식이라는 점도 미리 확인해 두세요.

서술·단답형은 계산과 별도로 조건을 확인할 시간을 남겨 두세요. 17번에서는 누적합의 범위와 초기항을 검산하고, 18번에서는 사용한 삼각형과 법칙을 순서대로 적으세요. 모의 풀이 때는 계산 시간이 길었는지, 식을 선택하는 데 시간이 걸렸는지를 나누어 기록하면 보완할 부분이 분명해집니다.

마지막 점검은 조건 중심으로 하세요. 5번은 항 번호의 홀짝, 8번은 첨자 변경 후의 양 끝 항, 11번은 부호와 정수 조건, 15·18번은 각의 범위, 19번은 서로 다른 수와 배열 순서가 핵심입니다. 식을 다시 계산하기 전에 이런 조건을 하나씩 대조하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 기본 일반항과 합을 정리하세요. 항 번호의 차이와 구간 합의 배율을 말로 설명한 뒤 계산하는 연습을 하세요(2·4·6번 대비).
2. 음의 공비를 가진 수열에서 부호표를 만들고 홀짝 조건과 절댓값 합을 연결하세요. 로그로 얻은 범위도 항 번호 조건과 다시 대조하세요(5·11번 대비).
3. 시그마의 범위를 바꾸고 주기별로 항을 묶는 연습을 하세요. 합의 시작과 끝, 묶음 밖에 남는 항을 따로 표시하세요(3·7·8번 대비).
4. 귀납식에서는 항과 누적합을 나누어 기록하고, 차이를 더해 일반항을 만드는 연습을 하세요. 초기 조건 검산과 귀납법의 증명 단계도 함께 정리하세요(9·12·13·17번 대비).
5. 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 어떤 정보에서 선택하는지 정리하세요. 각을 확정하는 근거와 닮음비를 넓이비로 바꾸는 과정도 연습하세요(1·14·15·16·18번 대비).
6. 합의 비를 항의 비로 연결하는 중항 문제와 배열 순서가 달라지는 수열 문제를 풀어 보세요. 식을 세우기 전 관계를 설명하고, 풀이 후 제외 조건을 점검하세요(10·19번 대비).