풍문고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

풍문고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 삼각함수의 그래프와 활용, 등차수열과 등비수열, 수열의 합, 수학적 귀납법입니다. 함수의 최대·최소와 방정식의 실근 조건을 삼각함수에 연결하고, 수열에서는 일반항과 부분합의 관계를 여러 형태로 다룹니다.

기본형에서도 조건을 읽는 습관이 중요합니다. 주기와 최댓값으로 계수를 정할 때는 계수의 부호를 확인해야 하고, 부분합으로 일반항을 복원할 때는 첫째항을 따로 점검해야 합니다. 공식이 떠오르는 것과 그 공식을 적용할 수 있는 범위를 확인하는 것을 함께 연습하세요.

서술·단답형에는 합 계산, 그래프 해석, 항등식의 계수 비교, 귀납법 증명이 함께 들어 있습니다. 특히 18번은 수학적 귀납법을 이용한 증명을 요구하며 다른 방법의 풀이는 인정하지 않는 조건이 있습니다. 결과를 얻는 연습에 더해 지정된 방법으로 근거를 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항의 정확성과 중후반의 조건 해석

쉬움은 1~3번에 배치되어 있습니다. 삼각함수의 주기와 최댓값, 대각선을 이용한 넓이, 부분합에서 일반항을 얻는 관계를 확인하는 구간입니다. 초반부터 부호나 첫째항 확인을 생략하지 않되, 계산 과정은 간결하게 유지하는 편이 좋습니다.

보통 문항이 중심이지만 풀이 방식은 다양합니다. 5번은 판별식을 삼각부등식으로 옮기고, 11번은 모든 자연수에서 성립하는 조건을 확인하며, 18번은 증명의 논리 순서를 완성해야 합니다. 같은 분류 안에서도 조건 변환과 서술에 드는 시간이 다르므로 익숙한 계산형만 반복해서는 대비가 부족합니다.

어려움은 7번과 14~16번입니다. 7번에서 막히더라도 뒤의 보통 문항으로 넘어갈 수 있고, 16번 이후에도 접근 가능한 문제가 남아 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다. 시험 전체를 훑고 풀이 순서를 조정하는 연습이 유효합니다.

출제 단원 — 등차등비수열과 삼각함수그래프가 중심

등차등비수열은 공식을 직접 쓰는 문제에서 조건을 재구성하는 문제까지 폭이 넓습니다. 3·4번은 부분합과 일반항의 관계, 8·11번은 항의 부호와 부분합의 최대를 연결합니다. 7번에서는 일정한 간격의 부분합 조건을 항의 관계로 바꾸고, 16번에서는 부분합의 제곱 차를 항등식으로 다룹니다.

삼각함수그래프에서는 치환 후의 범위가 반복해서 중요합니다. 10·17번은 삼각함수를 이차식으로 바꾼 뒤 꼭짓점과 구간의 끝점을 살펴야 합니다. 14번은 탄젠트의 점근선으로 정의역을 나누고 직선과의 교점을 판단하므로, 사인·코사인의 최대·최소 풀이와 구별해 준비하세요.

수학적귀납법 단원에는 증명뿐 아니라 귀납적으로 정의된 수열도 포함됩니다. 9·18번은 귀납 가정과 다음 단계의 연결을, 12·19번은 주어진 관계에서 새로운 점화 관계를 만드는 능력을 확인합니다. 삼각함수활용은 넓이 공식과 사인·코사인법칙을 기본으로 하되, 15번처럼 원의 성질과 결합하는 유형까지 확장됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 표현을 바꾸어야 한다는 점입니다. 7번은 부분합의 차, 14번은 점근선에 따른 구간 분리, 16번은 제곱 차의 인수분해가 출발점이므로 풀이의 첫 줄을 스스로 설명하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확히 처리하고, 7번에서 첨자 정리가 길어지면 표시한 뒤 다음 문제로 이동하세요. 14~16번에 시간이 몰리지 않도록 후반의 17~20번도 미리 확인하는 것이 좋습니다. 연습할 때는 막힌 문항에서 쓴 시간과 다시 돌아와 해결한 시간을 기록해 자신에게 맞는 이동 기준을 정하세요.

서술·단답형은 마지막 숫자만 확인하는 방식으로 검토하기 어렵습니다. 13번은 소거 후 남는 항, 16번은 계수 비교의 근거, 18번은 귀납 가정에서 다음 단계로 넘어가는 연결을 남겨 두세요. 특히 18번은 다른 합 공식으로 결과를 확인했더라도 요구한 귀납법 증명을 작성해야 합니다.

조건 검토에서는 부호와 범위에 우선순위를 두세요. 4번은 절댓값을 풀 때의 항의 부호, 10·17번은 치환 변수의 범위, 14번은 점근선과 끝점의 포함 여부가 중요합니다. 11번의 모든 자연수 조건과 16번의 공차 부호도 확인하고, 15번에서는 목표 각과 대변의 대응을 그림에 다시 표시하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부분합에서 일반항을 구하는 기본형을 정리하세요. 첫째항을 별도로 확인하고, 첨자를 이동한 관계식끼리 빼는 유형으로 확장하세요(3·4·12번 대비).
2. 등차수열의 항의 부호와 부분합의 증가·감소를 연결하세요. 모든 자연수 조건은 최대인 부분합까지 확인하는 습관을 들이세요(8·11번 대비).
3. 삼각함수의 주기와 이동을 복습한 뒤 치환 변수의 범위를 적는 연습을 하세요. 최대·최소와 실근 조건을 그래프로 확인하세요(1·5·10·17번 대비).
4. 부분합의 간격 조건과 제곱 차 조건을 따로 연습하세요. 항의 합으로 바꾸거나 인수분해한 뒤 어떤 계수를 비교할지 설명해 보세요(7·16번 대비).
5. 삼각함수활용은 각과 대변의 대응부터 표시하세요. 기본 넓이와 법칙을 익힌 뒤 원주각·이등변삼각형·접선 관계가 결합된 유형을 풀어 보세요(2·6·15·20번 대비).
6. 수열의 합과 귀납법은 풀이의 연결을 직접 써 보세요. 소거되는 항, 새로 더하는 항, 귀납 가정의 사용 위치를 표시하고 점화식의 반복 규칙도 확인하세요(9·13·18·19번 대비).
7. 탄젠트 그래프는 점근선을 먼저 그리고 구간별 교점을 판단하세요. 중간 가지와 끝에서 잘린 가지의 차이를 말로 설명한 뒤 서술형 풀이로 정리하세요(14번 대비).