현대고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

현대고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 원의방정식, 도형의이동, 집합입니다. 원의 중심과 반지름을 읽는 기본형부터 이동한 도형의 위치 관계와 집합 조건을 함께 정리하는 유형까지 포함합니다.

원의방정식에서는 중심과 반지름을 구하는 계산만으로 준비를 마치기 어렵습니다. 중심에서 직선까지의 거리, 현의 수직이등분선, 원주각과 중심각, 접선의 수직 관계를 상황에 맞게 선택해야 합니다. 그림에서 먼저 확인할 성질을 정하면 불필요한 연립 계산을 줄일 수 있습니다.

서술·단답형도 난도가 일정하지 않습니다. 15번은 기본적인 완전제곱식 변형이고, 17번은 집합의 영역별 원소 수를 정리하는 문제입니다. 16·18번에서는 앞에서 얻은 관계를 뒤의 소문항에 연결하므로, 중간 결과와 적용 조건을 함께 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 나타나는 도형 조건 해석

쉬움 구간은 지름의 양 끝점, 평행이동한 직선, 집합의 원소와 부분집합, 접선의 방정식, 완전제곱식 변형을 확인합니다. 특히 4번은 중괄호가 붙은 집합 자체가 원소로 들어가는 상황을 구별해야 합니다. 익숙한 기호라도 포함 관계를 눈으로만 판단하지 마세요.

보통 구간은 거리의 최댓값과 최솟값, 현의 수직이등분선, 대칭이동을 이용한 최단 경로, 집합의 합과 원소 수를 다룹니다. 공식에 대입하기 전에 원과 직선이 떨어져 있는지, 등호가 실제로 성립하는지, 진부분집합 조건이 있는지를 확인하는 과정이 필요합니다.

어려움은 후반에만 몰려 있지 않습니다. 7·8번에서 이동한 원을 해석한 뒤 9·10번에서 보통 문항으로 돌아오고, 11~14번에서 어려움이 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있지만, 앞에서 막힌 문제를 표시하고 다음 유형을 살펴보는 운영에는 도움이 됩니다.

출제 단원 — 원의방정식 중심의 거리와 위치 관계

원의방정식은 기본 좌표 계산과 도형 성질을 연결하는 비중이 큽니다. 1·15번에서 중심과 반지름을 정확히 구한 뒤, 2·5·6번의 거리와 수직 관계로 넓혀 가세요. 11·12·14번에서는 중심의 후보, 수선의 발의 범위, 지름에 대한 원주각처럼 계산을 단순하게 만드는 관찰이 중요합니다.

도형의이동은 3번의 직선 평행이동에서 7·8번의 원 이동과 9번의 경로 최소화로 이어집니다. 점의 좌표를 옮기는 규칙과 도형의 방정식에 대입하는 규칙을 구분하고, 이동이 길이와 넓이를 보존한다는 성질을 함께 익히세요. 집합은 4번의 기호 이해를 바탕으로 10·13·17번의 포함 관계와 영역 해석을 준비해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원의방정식 비중과 서술·단답 구성의 변화

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 8문항으로 줄었고 쉬움은 늘었습니다. 다만 서술·단답은 작년 15~17번에서 올해 15~18번으로 늘었으므로, 어려움 문항 수의 감소만으로 풀이 부담이 작아졌다고 단정하기는 어렵습니다.

원의방정식은 작년 8문항에서 올해 10문항으로 늘었고, 집합은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 도형의이동은 각각 4문항이며 작년에 있던 이차함수 문항은 올해 단원 구성에 없습니다. 어려움은 작년 6번에서 처음 등장했고 올해는 7번에서 시작하지만, 객관식 후반과 마지막 문항까지 대비해야 한다는 점은 같습니다.

다음 시험을 준비할 때는 원의방정식의 기본형을 확보한 뒤 접선·거리·넓이를 결합하는 문제로 확장하세요. 집합은 문항 수만 보고 미루기보다 포함 관계를 영역으로 바꾸는 연습을 이어 가야 합니다. 서술·단답에서는 첫 소문항의 관계를 뒤 계산에 다시 쓰는 방식으로 풀이를 정리해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 움직이는 대상을 고정된 도형이나 범위로 바꾼 뒤 허용 조건을 다시 확인해야 합니다. 계산 전에 대상과 범위를 한 줄로 적으면 풀이 방향을 잡는 데 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 중심·반지름, 이동식, 집합 기호가 바로 정리되는 문항을 먼저 처리하세요. 7·8번의 도형 해석이 길어지면 표시하고 9·10번으로 넘어가는 연습이 필요합니다. 객관식 후반을 모두 마친 다음에만 서술·단답형을 보겠다고 정하기보다, 15번처럼 기본형인 문항을 먼저 확인하세요.

서술·단답형에서는 소문항마다 얻은 관계를 다음 계산 옆에 남기세요. 16번의 중점 관계와 18번의 접선 조건은 이후 풀이의 출발점이 됩니다. 계산이 막히더라도 앞 소문항의 결과와 현재 필요한 조건을 구분해 적으면 다시 시작할 지점을 찾기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 계산을 반복하기보다 조건을 확인하세요. 8번은 교점이 존재하는 경계, 9번은 최소 경로의 등호 성립, 13번은 필수 원소와 추가 원소의 조건이 중요합니다. 14번의 외분 방향, 16번의 허용된 호, 18번의 사분면과 제곱 전 부호도 그림에 표시해 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원의 일반형을 표준형으로 바꾸고 지름에서 중심과 반지름을 찾는 연습부터 하세요. 좌표 부호와 반지름의 제곱을 구별해 적으세요(1·15번 대비).
2. 중심과 직선 사이 거리, 현의 수직이등분선, 접점에서의 접선식을 연결하세요. 교점을 직접 구하기 전에 거리와 수직 관계로 해결할 수 있는지 살펴보세요(2·5·6번 대비).
3. 평행이동과 대칭이동은 점의 좌표와 도형의 방정식을 나란히 정리하세요. 이후 넓이의 보존과 대칭점을 이용한 경로 최소화로 확장하세요(3·7·9번 대비).
4. 원과 직선의 만남을 거리 조건으로 바꾸고 움직이는 점의 범위를 그리세요. 절편 구간의 겹침과 정사영의 선분을 각각 설명해 보세요(8·12번 대비).
5. 원주각·중심각, 지름, 닮음, 무게중심을 좌표 관계로 옮기세요. 접선이나 넓이의 극값에서는 허용된 위치와 경계를 함께 확인하세요(11·14·16·18번 대비).
6. 집합의 원소 관계와 포함 관계를 구별한 뒤 벤 다이어그램과 정수 범위를 연습하세요. 필수 원소를 정하는 조건과 원소 수를 정하는 조건을 따로 표시하세요(4·10·13·17번 대비).