송곡여자고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

송곡여고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

송곡여자고등학교는 서울 중랑구에 있습니다. 이번 시험의 출제 범위는 함수의 뜻과 개수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 기본 정의를 아는 것과 그 성질을 제한 조건 아래 적용하는 것을 함께 확인합니다.

시험의 중심은 순열조합입니다. 기호 계산과 단순 선택을 묻는 문제에서 시작해 자리 제한, 이웃하지 않는 배치, 숫자의 합과 곱 조건으로 확장됩니다. 공식을 외웠더라도 무엇을 먼저 고정하고 무엇을 나중에 배열할지 정하지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

함수 영역에서는 그래프의 점을 읽는 합성부터 반복 합성, 정의역이 제한된 역함수, 서로 다른 그래프의 교점 조건까지 이어집니다. 서술·단답형은 자동 분류 기준 쉬움과 보통으로 구성되므로, 중반의 어려운 객관식에 묶여 이 구간을 놓치지 않는 것이 중요합니다.

난이도 분포 — 중후반 객관식에 모인 어려움

쉬움 문항은 초반에 비교적 많이 놓여 있습니다. 다만 5·8·10번에는 그래프 성질과 합성 순서, 이동의 해석이 필요하므로 번호가 앞이라고 기계적으로 계산부터 시작하지 마세요. 그래프의 기준점을 표시하면 검산도 수월합니다.

11·12번에서 조건부 배열이 등장하고 14~16번에서 반복 합성, 비인접 배치, 함수 교점 문제가 이어집니다. 자동 분류 기준 어려움 문항이 연이어 나타나는 구간이지만 13번은 보통이므로, 앞 문제에서 막혔다고 뒤 문제까지 같은 부담으로 볼 필요는 없습니다.

17번은 쉬움, 18~20번은 보통이며 21·22번에서 다시 어려움으로 넘어갑니다. 난이도가 번호순으로 계속 높아지는 구조가 아닙니다. 서술형의 풀이 공간과 마지막 객관식의 검토 시간을 함께 확보하는 전략이 적합합니다.

출제 단원 — 순열조합 중심, 함수는 조건 해석

순열조합은 10문항으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 특히 11·12·15·21번은 단순한 순열 계산보다 조건을 경우 나누기의 기준으로 바꾸는 일이 먼저입니다. 13번의 포장과 20번의 사전식 배열까지 포함하면, 상황을 세는 규칙으로 옮기는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 대입, 그래프 읽기, 반복 합성, 역함수를 포함한 합성으로 나뉩니다. 유리함수에서는 식의 정리와 그래프 성질뿐 아니라 정의역을 제한한 역함수까지 다룹니다. 함수 영역을 식 계산만으로 준비하면 그래프와 구간을 확인하는 단계가 약해질 수 있습니다.

무리함수는 10번의 이동에서 16·22번의 교점 조건으로 연결됩니다. 연습할 때 시작점과 정의역을 그림에 표시하고, 방정식에서 나온 후보가 원래 그래프 위에 있는지 확인하세요. 순열조합과 함께 함수의 조건 확인도 연습해야 합니다.

문항별 정리

아래 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항은 핵심 개념과 풀이 방향, 확인할 조건을 중심으로 정리했습니다.

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 과목 시험

서울 지역에서 같은 2023학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 학교들과 비교하면, 송곡여고는 총 22문항으로 지역 평균 22.5문항과 가깝습니다. 서술·단답형도 4문항으로 평균 4.2문항과 비슷합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 32%로 지역 평균 39%보다 낮으며, 11개교 중 8위입니다. 이는 문항 분류에 따른 비율 순위입니다. 송곡여고에서는 어려움 문항이 객관식에 놓여 있으므로 서술형의 개수만 보고 풀이 부담을 판단하기보다 문항 위치를 살펴야 합니다.

가장 많은 단원은 여러 학교와 마찬가지로 순열조합입니다. 서울세종고등학교와 경기여자고등학교는 무리함수가 가장 많다는 차이가 있습니다. 송곡여고 학생은 조건부 배열을 우선 연습하고, 함수 교점 문제에서 정의역을 확인하는 훈련을 병행하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 익숙한 계산을 시작하기 전에 그 계산이 적용되는 조건을 확인해야 한다는 점입니다. 연습 후에는 중복과 구간 제한을 확인한 흔적을 돌아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 순열·조합 기호, 함수의 정의, 단순 대응처럼 바로 접근할 수 있는 문항을 안정적으로 처리하세요. 11·12번에서 경우 나누기 기준이 잡히지 않으면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 고정한 자리와 남은 조건을 짧게 남겨 두세요.

서술·단답형인 17~20번은 마지막에 몰아서 쓰기보다 풀이 방향이 보이면 먼저 정리해 두세요. 18번은 합성 순서, 19번은 역함수의 식과 구간을 나누어 적는 것이 도움이 됩니다. 21·22번은 그 뒤의 객관식이므로 답안 작성 전에 시험지 끝까지 확인할 시간을 남겨야 합니다.

검토할 조건은 2번의 근호와 범위, 12번의 끝자리, 15번의 금지 사건 중복, 19번의 구간 끝 포함 여부입니다. 21번은 합의 홀짝과 곱의 인수 조건을 모두 썼는지, 22번은 제곱 전의 부호 조건을 유지했는지 점검하세요. 검산은 같은 계산의 반복보다 조건 누락을 찾는 데 집중하는 편이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 기호와 정의부터 정리하세요. 순열·조합의 정의 범위와 함수·일대일함수·상수함수의 차이를 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·3·4·17번 대비).
2. 필수 포함·제외와 정수 개수 세기를 익히세요. 선택할 대상과 수량을 먼저 정하고 표로 가능한 범위를 정리하세요(7·9·13번 대비).
3. 조건부 배열을 집중 연습하세요. 자리를 먼저 고정하는 방식과 전체에서 금지 배치를 빼는 방식을 비교하고 중복을 확인하세요(11·12·15·21번 대비).
4. 합성과 역함수의 진행 방향을 구분하세요. 대응 화살표를 그리는 연습에서 시작해 반복 합성과 역함수를 포함한 식으로 확장하세요(6·8·14·18번 대비).
5. 그래프의 기준점을 표시하세요. 유리함수의 점근선, 무리함수의 시작점, 제한된 구간의 끝점으로 이동과 역함수를 확인하세요(5·10·19번 대비).
6. 교점 문제는 조건을 먼저 적고 풀어 보세요. 치환 변수의 범위와 제곱 전 부호를 끝까지 유지하면서 후보를 확인하세요(16·22번 대비).