장안고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

장안고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

장안고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 대응 관계, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열과 조합입니다. 총 20문항 가운데 서술·단답형은 18번이며, 나머지는 객관식으로 분류되어 있습니다.

초반에는 합성함수의 함숫값, 일대일대응, 무리식 계산, 조합의 뜻처럼 출발점이 비교적 분명한 문항이 나옵니다. 다만 2번부터 유리함수의 대칭성을 묻기 때문에 번호가 앞이라는 이유로 대입 계산만 예상해서는 안 됩니다. 식을 표준형으로 바꾸거나 대응 관계를 읽는 기본기가 필요합니다.

후반에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 합성함수의 등식을 함수들의 합으로 정리하거나, 함수의 개수를 공역에서 빠지는 원소의 관점으로 세는 방식입니다. 문제마다 계산량만 줄이려 하기보다 어떤 표현으로 바꾸면 조건이 간단해지는지 찾는 연습이 적합합니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간도 조건 확인이 생략되는 문항은 아닙니다. 4번에서는 일대일대응에 따라 공역의 원소를 중복 없이 써야 하고, 7번에서는 합성 순서를 비교한 뒤 역함수의 함숫값을 해석해야 합니다. 기본 문항의 정확도를 확보하는 것이 후반 풀이 시간을 만드는 바탕입니다.

보통 구간에서는 개념의 연결이 늘어납니다. 9번은 합성함수의 역함수를 정리한 뒤 정의역 조건을 확인하고, 10번은 반복 합성을 직선의 식으로 바꾼 다음 거리 조건을 적용합니다. 11·13번은 경우를 나누는 기준과 숫자 배열의 순서 조건을 명확히 해야 합니다.

14~17번은 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 풀이가 떠오르지 않으면 뒤의 18·19번을 확인하고 돌아오는 전략이 유용합니다. 마지막 20번도 어려움으로 분류되어 있으므로, 후반 전체를 한 덩어리로 보고 처음 막힌 문제에 시간을 모두 쓰지 않도록 하세요.

출제 단원 — 합성함수·역함수와 순열조합의 비중

합성함수와 역함수는 단순한 함숫값 계산부터 반복 합성, 역함수의 합성 순서, 함수식 추론까지 폭이 넓습니다. 1·7번을 풀 수 있어도 15번의 조건 해석이 바로 해결되는 것은 아닙니다. 같은 단원 안에서 대입, 치환, 계수 비교, 그래프 해석을 구분해 연습해야 합니다.

순열조합은 책을 고르는 조합뿐 아니라 약수, 색칠, 숫자 배열, 가족의 자리 배치, 주사위의 순서쌍까지 다룹니다. 소재보다 순서를 구별하는지, 같은 대상을 다시 세는지, 경우들이 서로 겹치는지를 기준으로 묶어 공부하세요. 16번의 함수 개수도 이러한 세기 원리와 연결됩니다.

유리함수와 무리함수는 기본형을 읽는 문항과 다른 개념을 결합하는 문항이 함께 있습니다. 2·12번에서 대칭점과 평행이동을 정리한 뒤 20번의 교점·넓이로 나아가고, 8번에서 정의역과 치역을 익힌 뒤 17번의 구간별 교점 판단으로 연결하는 순서가 좋습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 수원시의 같은 시험 범위

같은 2023학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 수원시 학교들과 비교하면, 장안고의 총 문항 수는 지역 평균 20.7문항에 가깝고 서술·단답형은 평균 1.5문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 25%로 지역 평균 46%보다 낮으며, 어려움 비율 순서는 11개교 중 11위입니다.

순열조합이 가장 많은 학교들이 여럿인 가운데 장안고는 합성함수와 역함수도 같은 비중으로 다룹니다. 단원별 최다 문항만으로 전체 시험의 성격을 같다고 볼 수는 없습니다. 장안고에서는 경우의 수를 준비하면서도 합성 순서와 역함수 조건을 함께 익혀야 합니다.

어려움 비율이 낮더라도 후반의 연속된 어려움 문항은 별도로 대비해야 합니다. 기본·보통 문항을 정확히 마친 뒤 함수식의 구조를 찾는 문제와 그래프의 경계 조건을 다루는 문제로 확장하세요. 이 순서가 초반의 실수를 줄이면서 후반 문항에 도전하는 데 도움이 됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 주어진 조건을 더 다루기 쉬운 대상으로 바꾸는 데 있습니다. 함수들의 합, 그래프의 시작점, 교점 좌표의 차이처럼 풀이의 기준을 먼저 적어 두면 계산 중에도 방향을 유지할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~13번의 기본·보통 문항에서 접근이 보이는 문제를 안정적으로 처리하세요. 14~17번에서 풀이가 멈추면 필요한 조건만 메모하고 18·19번을 확인한 뒤 돌아오는 편이 좋습니다. 18번은 서술·단답형이므로 계산 결과 외에 경우를 나눈 근거를 쓸 시간도 남겨 두세요.

함수 문항에서는 정의역과 치역을 풀이 옆에 표시하세요. 8·9번의 역함수 조건, 10번의 합성 횟수에 붙은 자연수 조건, 17번의 시작점과 구간 경계가 특히 중요합니다. 방정식의 후보를 얻었다고 끝내지 말고 처음 설정한 범위로 돌아와 확인해야 합니다.

경우의 수에서는 11번의 색 재사용, 13번의 맨 앞자리 제한, 14번의 상대적 순서, 16번의 중복 제외를 검토하세요. 마지막 검산에서는 같은 대상을 다른 순서로 다시 세었는지, 서로 겹치는 경우를 단순히 더했는지를 살펴보세요. 20번은 넓이에 쓰는 높이가 직선까지의 수직거리인지 점검하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성과 대응의 기본부터 확인하세요. 안쪽 함수부터 적용하는 순서와 일대일대응을 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·4·7번 대비).
2. 유리함수·무리함수의 표준형을 정리하세요. 대칭점, 점근선, 정의역, 치역과 역함수의 범위를 함께 표시하세요(2·8·12번 대비).
3. 선택과 배열의 차이를 구분하세요. 소인수의 지수 선택, 책 선택, 숫자의 대소 관계를 세기 원리로 묶어 보세요(3·6·13번 대비).
4. 경우 나누기와 중복 보정을 연습하세요. 색칠 조건과 자리 조건을 표로 나누고, 공역의 원소가 빠지는 함수는 포함배제로 세어 보세요(11·14·16·18번 대비).
5. 합성식을 간단하게 바꾸는 훈련을 하세요. 역합성의 순서, 반복 합성의 규칙, 치환과 함수들의 합을 활용하는 기준을 익히세요(9·10·15·19번 대비).
6. 그래프와 대수를 연결하세요. 시작점·구간별 교점과 넓이·근과 계수의 관계를 순서대로 적어 풀이하고, 마지막에 원래 조건을 확인하세요(17·20번 대비).