상문고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

상문고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 복소수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 대수 계산과 좌표기하를 함께 준비해야 하는 범위입니다.

초반에는 거리 공식, 무게중심, 직선의 이동과 수직 관계 등 개념을 직접 적용하는 문제가 놓여 있습니다. 이어서 공식의 유도 과정을 읽거나 대칭이동으로 경로를 펴는 문제처럼, 이미 알고 있는 공식을 어떤 상황에 쓸지 판단해야 합니다.

후반에서는 조건을 연결하는 순서가 중요합니다. 마름모의 성질로 좌표를 정한 뒤 내접원을 다루고, 원의 접촉 조건을 이차함수의 교점 개수로 바꾸는 식입니다. 서술·단답형에 대비할 때는 계산 결과뿐 아니라 다음 식을 세울 수 있는 이유를 짧게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석의 차이

쉬움 구간은 초반에 집중되어 있습니다. 다만 5번의 외분과 수직 관계, 8번의 반례 판단은 공식을 알고 있어도 조건을 잘못 읽으면 실수할 수 있습니다. 이 구간에서는 풀이를 짧게 쓰면서도 이동 방향과 부호, 예외가 되는 계수 조건을 확인하세요.

보통 문항은 7·9·11·12·16번에 흩어져 있습니다. 접선의 성립 여부를 확인하는 문제, 거리 공식의 유도를 따라가는 문제, 치환과 대칭이동을 고르는 문제가 포함됩니다. 10번이 막혀도 뒤의 11·12번을 확인하고, 서술·단답형에서도 16번의 접근 가능성을 먼저 살펴보는 운영이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 후반에 이어지며, 계산보다 조건의 번역에서 시간이 걸릴 수 있습니다. 이 분포는 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 연습에서는 처음 관계식을 세우는 데 걸린 시간과 실제 계산 시간을 구분해 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 기하 관계의 연결

원의방정식은 접선의 기본 판정에서 원의 개수, 호와 현, 자취, 닮음과 접촉 조건으로 확장됩니다. 원의 방정식을 완전제곱식으로 정리해 중심과 반지름을 읽는 데서 멈추지 말고, 중심에서 직선까지의 거리와 직각삼각형을 함께 그리는 연습이 필요합니다.

평면좌표와 직선의방정식은 후반 문제의 도구가 됩니다. 1·2번의 거리와 좌표 평균, 4·5번의 거리와 수직 관계를 익힌 뒤 10번에서 도형의 성질과 결합해 보세요. 9번처럼 공식의 유도 과정을 확인하면 접선이나 현 문제에서 거리 공식을 쓰는 근거도 분명해집니다.

대수 영역에서는 식의 공통 구조를 보는 능력이 중요합니다. 11번은 반복되는 이차식을 치환하고, 13번은 근을 직접 구하기보다 인수의 곱으로 해석합니다. 15번의 주기와 16·17번의 그래프 조건도 같은 관점에서, 긴 계산을 시작하기 전에 정리할 수 있는 구조를 먼저 찾아야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 조건 처리의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 앞에서 얻은 관계를 다음 단계의 표현으로 바꾸어야 한다는 점입니다. 그래프의 경계, 계수의 부호, 도형의 대칭성을 먼저 정리하면 식을 세우는 순서가 드러납니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 거리와 좌표, 직선의 기본형을 정확하게 처리해 후반 검토 시간을 확보하세요. 10번에서 도형 계산이 길어지면 표시한 뒤 11·12번의 치환과 대칭이동을 살펴보세요. 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 전체를 훑어 접근 방향이 보이는 문항을 먼저 찾는 연습이 좋습니다.

서술·단답형에서는 출발 관계를 짧게 적어 두세요. 15번은 거듭제곱의 주기, 16번은 허용 구간과 해의 존재 조건, 18번은 중심·반지름과 호의 관계가 출발점입니다. 첫 관계식을 세우지 못한 상태에서 같은 전개를 반복하기보다 필요한 개념을 표시하고 다음 문제로 이동하세요.

마지막에는 부호와 경계 조건을 확인하세요. 16번의 엄격한 부등호와 정수 조건, 17번의 이차항 계수 예외, 18번의 반지름에 붙는 절댓값이 중요합니다. 12번은 펼친 경로가 실제 조건을 만족하는지, 19번은 자취의 경계에서 접선 조건이 허용되는지 점검해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·무게중심·외분점의 좌표를 먼저 정리하세요. 계산한 점이 그림에서 있어야 할 위치와 일치하는지도 확인하세요(1·2·5·10번 대비).
2. 직선의 수직 관계와 점에서 직선까지의 거리를 복습하세요. 공식을 직접 적용한 뒤 수선의 발을 이용한 유도도 설명해 보세요(4·5·7·9번 대비).
3. 평행이동과 대칭이동은 좌표와 방정식의 변화를 구분해 연습하세요. 경로를 펴서 최단거리로 바꾸고 등호 성립 위치를 확인하세요(3·8·12번 대비).
4. 방정식에서는 공통부분 치환과 근의 인수 표현을 연습하세요. 근을 모두 구하지 않고도 필요한 곱을 얻을 수 있는지 먼저 판단하세요(6·11·13번 대비).
5. 복소수의 거듭제곱을 주기로 정리하고 자연수 범위 안에서 경우를 세세요. 부등식은 해가 존재하는 조건과 항상 성립하는 조건을 나누어 학습하세요(15·16·17번 대비).
6. 원의 중심과 반지름을 구한 뒤 접선·현·호·자취를 연결하세요. 닮음과 수직 관계를 먼저 그림에 표시하고 거리식으로 옮겨 보세요(7·14·18·19·20번 대비).