늘푸른고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

늘푸른고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 집합, 명제, 도형의이동, 절대부등식, 원의방정식입니다. 집합 연산과 논리의 기본 개념뿐 아니라 좌표를 활용한 도형 해석과 부등식의 최댓값·최솟값까지 준비해야 합니다.

집합에서는 원소를 직접 나열하는 유형에서 출발해 중복을 제거한 개수 세기와 최소 원소 수의 근거를 따지는 유형으로 확장됩니다. 명제도 반례를 찾는 단계에서 진리집합의 포함 관계, 매개변수 조건, 귀류법의 논리 구조로 이어집니다. 같은 단원 안에서 풀이의 깊이가 달라집니다.

도형에서는 이동한 좌표를 구하는 계산을 바탕으로 넓이와 거리의 조건을 연결해야 합니다. 부등식에서는 하한을 구하는 계산만큼 등호가 원래 조건 안에서 성립하는지 확인하는 과정이 중요합니다. 자동 분류 기준의 난이도와 함께 이런 풀이 단계의 차이를 보며 학습하세요.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 해석

쉬움은 1~3번으로, 원의 평행이동과 반례, 집합 연산의 기본을 확인합니다. 이 구간은 계산을 서두르기보다 원의 중심 좌표 부호, 가정과 결론의 구분, 여집합의 기준이 되는 전체집합을 정확히 읽어야 합니다.

보통 문항은 4·5·6·8·9·10·12번입니다. 특히 7번에서 막히더라도 뒤의 보통 문항으로 이어 갈 수 있어야 합니다. 부분집합의 개수, 홀짝 조건, 귀류법의 증명 구조처럼 익숙한 개념을 다른 표현으로 바꾸는 연습이 필요합니다.

13~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 집합의 최소 조건, 부등식의 등호, 대칭이동을 통한 최단거리, 원의 접선으로 이어져 접근법 전환이 잦습니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에 검토 시간을 남기는 운영이 필요하다는 점은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 집합의 비중과 후반의 부등식·도형

집합은 가장 큰 비중을 차지하며 3·5·6·9·12·13·17번에 분포합니다. 여집합 계산만 반복해서는 충분하지 않습니다. 합으로 만든 집합에서 같은 원소가 겹치는지, 조건을 만족하는 부분집합을 어떻게 셀지, 약수 조건이 어떤 배수 관계를 강제하는지까지 살펴보세요.

명제는 2·7·8·10·20번으로, 반례와 필요·충분조건에서 귀류법까지 연결됩니다. 10번은 주어진 증명의 가정을 거꾸로 읽는 연습에, 20번은 결론의 부정에서 모순과 결론 복귀까지 직접 쓰는 연습에 활용하기 좋습니다.

절대부등식의 14·15·18번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 도형의이동은 기본 이동과 넓이·최단거리 응용을 함께 다루고, 원의방정식은 19번에서 식을 기울기로 읽는 전환이 필요합니다. 문항 수가 적은 단원이라도 후반 응용을 생략하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 늘어난 어려움 비중

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 20문항입니다. 서술·단답형은 작년 18~20번에서 올해 20번으로 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 10문항으로 늘었습니다. 서술형의 수만 보고 풀이 부담이 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

집합은 두 해 모두 7문항으로 가장 많습니다. 도형의이동은 5문항에서 4문항으로 줄고 명제는 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 절대부등식과 원의방정식의 문항 수는 같습니다. 집합을 기본 축으로 두면서 명제의 조건 해석과 증명 연습을 함께 가져가세요.

작년 어려움 문항은 10·15·16·17·18번이었고, 올해는 7·11번에서 먼저 등장한 뒤 13~20번에 이어집니다. 올해는 후반 객관식에서도 긴 풀이를 예상해야 합니다. 기본 문항을 확보한 뒤 응용으로 돌아오는 연습과 마지막 증명을 별도로 점검하는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 표현을 바꾸어 경계를 찾은 다음 실제 성립 여부를 검토한다는 것입니다. 식 변형, 경계 도출, 원래 조건 확인을 구분해 복습하면 막힌 단계를 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념으로 접근이 보이는 문항부터 확보하세요. 7번의 매개변수 분류나 11번의 넓이 계산이 길어지면 표시하고 뒤 문항을 확인하세요. 12번 이후에 어려움 문항이 이어지므로, 한 문항의 계산을 끝까지 붙잡기보다 전체를 살핀 뒤 돌아오는 연습이 필요합니다.

20번은 마지막 서술·단답형이므로 별도로 확인할 시간을 남기세요. 귀류법의 결론 부정, 경우 분류, 모순의 근거, 원래 결론의 연결을 빠짐없이 써야 합니다. 연습할 때 10번의 증명 구조를 말로 설명한 뒤 20번의 증명을 직접 작성하면 읽기와 쓰기의 차이를 점검할 수 있습니다.

검토할 때는 계산보다 조건 누락을 먼저 보세요. 6번은 중복된 합, 7번은 부등호의 끝점, 14·15번은 동시 등호 조건이 중요합니다. 16번은 점의 이동 범위, 17번은 제외해야 하는 약수, 19번은 분모의 부호와 접선 경계가 실제로 가능한지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 연산을 벤다이어그램의 서로 겹치지 않는 영역으로 바꾸세요. 여집합과 차집합을 구분하고 전체집합 조건까지 적으세요(3·5번 대비).
2. 부분집합의 개수와 원소 수의 관계를 복습한 뒤 중복 제거와 홀짝 조건을 붙여 연습하세요. 지수 집합처럼 정의가 바뀐 경우도 읽어 보세요(6·9·12번 대비).
3. 반례와 진리집합을 이용해 필요·충분조건의 방향을 정리하세요. 매개변수에 따라 경계 순서가 달라지는 경우도 포함하세요(2·7·8번 대비).
4. 집합의 최소 조건을 하한과 실제 구성으로 나누어 설명하세요. 약수 조건은 최소공배수와 제외 조건으로 바꾸세요(13·17번 대비).
5. 산술·기하평균과 코시·슈바르츠 부등식을 복습하고 완전제곱식 변형을 연습하세요. 적용 조건과 등호 조건을 함께 쓰세요(14·15·18번 대비).
6. 좌표 이동의 기본형에서 넓이와 최단거리 응용으로 확장하세요. 원의 식을 기울기로 해석하는 연습도 연결하세요(1·4·11·16·19번 대비).
7. 귀류법 증명에서 가정과 결론을 구분한 뒤 나머지에 따른 경우 분류를 직접 작성하세요. 모순이 어디서 생기는지 문장으로 설명하세요(10·20번 대비).