풍문고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

풍문고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 다항식, 여러가지방정식입니다. 부등식의 해석과 좌표평면의 도형 관계를 함께 준비해야 하는 구성입니다.

초반에는 점과 직선 사이의 거리, 분점의 좌표, 수직인 직선, 지름이 주어진 원 등 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 같은 공식을 접선과 현, 삼각형의 비례 관계에 연결합니다. 공식을 외우는 데서 그치지 않고 어떤 길이와 조건에 적용하는지 구분해야 합니다.

부등식에서도 단순한 해 구하기를 넘어 해의 존재, 항상 성립하는 조건, 정수해의 개수를 다룹니다. 좌표 계산과 부등식 계산의 공통 과제는 후보를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아오는 일입니다. 서술·단답형에서는 경우를 나눈 근거와 제외하는 이유까지 짧게 기록하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 연결

1~6번은 모두 쉬움으로 분류됩니다. 거리 공식과 부등식의 공통부분, 외분점과 원의 중심을 정확히 계산해 기본 문항을 확보하는 구간입니다. 다만 외분을 내분으로 읽거나 반지름과 지름을 혼동하면 익숙한 유형에서도 실수가 생길 수 있습니다.

7번과 10번은 보통이며, 그 사이에 어려움인 8·9번이 있습니다. 8번은 근호와 절댓값의 형태를 정리해야 하고, 9번은 교점이 속하는 영역을 기울기 범위로 바꾸어야 합니다. 중간에 풀이가 막히더라도 다음 문제의 구조를 확인하며 진행하는 편이 좋습니다.

11~14번과 18~22번은 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 반면 서술·단답형인 15·17번은 쉬움이므로, 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤 서술형을 시작할 필요는 없습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준으로, 개인별 체감과는 차이가 있을 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 여러가지부등식 중심

원의방정식은 중심과 반지름을 찾는 기본형에서 접선의 길이, 원 위의 점까지의 최소 거리, 현의 길이로 확장됩니다. 특히 18·19번에서는 중심에서 직선에 내린 수선이 현을 이등분한다는 성질이 중요합니다. 원과 직선을 무조건 연립하기보다 거리로 바꾸는 풀이를 익혀 두세요.

여러가지부등식은 해의 공통부분을 찾는 2번과 해에서 식을 복원하는 4번을 바탕으로 합니다. 8번은 절댓값의 구간 해석, 20번은 항상 성립하는 조건과 차수 변화, 21번은 정수해 개수와 경계의 포함 여부가 핵심입니다. 부등호 하나의 차이가 결과에 미치는 영향을 수직선으로 확인해야 합니다.

직선의방정식과 평면좌표는 원 문제를 푸는 기초이기도 합니다. 분점, 기울기, 점과 직선 사이의 거리를 따로 익힌 뒤 13·19번처럼 결합된 유형으로 넘어가세요. 출제 수가 적은 다항식과 여러가지방정식도 각각 14·16번에서 어려움으로 분류되어 준비 대상에서 빼기 어렵습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 연결하는 단계를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 첫 계산보다 중간 관계를 정확히 유지하는 일이 중요합니다. 풀이 옆에 현재 사용하는 도형과 구간을 남겨 두면 다음 단계에서 조건을 다시 찾는 시간을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확히 처리하고 전체 문제를 훑어 접근 순서를 정하세요. 8·9번에서 오래 멈췄다면 10번이나 서술·단답형의 15·17번을 확인할 수 있습니다. 연습할 때는 문제를 읽고 첫 관계식을 정하는 시간과 실제 계산 시간을 나누어 기록해 병목을 찾으세요.

도형 문제는 계산 전에 보조선을 정하는 것이 좋습니다. 10·12번은 접점과 중심을 잇는 선, 18·19번은 중심에서 직선에 내리는 수선이 출발점입니다. 13번은 사분면에 따른 부호를, 18번은 기울기의 부호를 적어 두고 계산으로 얻은 후보와 대조하세요.

부등식 검토에서는 경계 포함 여부를 우선 확인하세요. 8번은 근호를 절댓값으로 바꾸는 과정, 20번은 최고차항 계수가 사라지는 경우, 21번은 정수 경계가 핵심입니다. 16번에서는 각 인수에서 얻은 경우와 부호를 빠뜨리지 않았는지 해의 쌍을 묶어 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식과 분점 좌표, 수직인 직선의 기울기를 복습하세요. 내분과 외분을 구별하고 계산한 점의 위치를 그림으로 확인하세요(1·3·5·15번 대비).
2. 연립부등식의 공통부분과 이차부등식의 해를 수직선으로 나타내세요. 해의 존재 여부와 경계 포함 여부까지 설명하세요(2·4·7번 대비).
3. 절댓값은 부호가 달라지는 지점으로 구간을 나누고, 항상 성립하는 조건은 차수 변화부터 검토하세요. 이후 정수해 세기로 확장하세요(8·20·21번 대비).
4. 원의 중심과 반지름을 찾은 뒤 접선의 직각 관계와 최소 거리를 연습하세요. 계산 전에 사용할 직각삼각형을 표시하세요(6·10·11·12·17번 대비).
5. 현의 길이는 중심에서 직선까지의 거리로 바꾸어 구하세요. 내분점과 직선의 방정식이 결합된 문제로 확장하세요(18·19번 대비).
6. 도형의 비와 대수식의 구조를 연결하세요. 각 이등분선, 접선 길이, 중선과 무게중심을 복습하고 연립방정식은 인수분해로 경우를 나누세요(13·14·16·22번 대비).