가락고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

가락고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 복소수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 대수적 조건을 다룬 뒤 좌표평면에서 거리와 위치 관계를 해석하는 구성입니다.

기본형에서도 적용 조건을 분명히 해야 합니다. 이차부등식이 항상 성립하는 문제는 최고차항 계수의 부호와 판별식을 함께 보고, 원과 직선의 위치 관계는 중심에서 직선까지의 거리로 바꾸어야 합니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식을 선택할 근거를 아는 것을 함께 점검하세요.

문항 번호가 커질수록 일관되게 어려워지는 배열은 아닙니다. 초반의 근 개수와 연립방정식에서 시간이 걸릴 수 있고, 뒤쪽 서술·단답형에는 기본 좌표 공식을 연결하는 문제도 있습니다. 전체를 훑고 접근 가능한 문항부터 해결하는 연습이 유효합니다.

난이도 분포 — 초반 조건 판단과 후반 원 단원

쉬움으로 분류된 문항은 해집합에서 이차식을 복원하는 6번, 거리의 최솟값을 다루는 9번, 거리와 직선의 일치를 확인하는 12·13번, 원과 직선의 교점을 판단하는 14번입니다. 이 구간은 공식 적용 후 부호와 등호를 짧게 검토하는 방식으로 풀이 시간을 관리하세요.

초반의 2·4번과 중간의 8번은 자동 분류 기준 어려움입니다. 서로 다른 실근을 셀 때 중근과 공통근을 구별하거나, 인수분해로 나뉜 경우를 모두 처리해야 합니다. 한 경우의 계산을 마쳤다고 전체 조건을 확인한 것으로 생각하지 않는 것이 중요합니다.

16·17번의 원 관련 해석에서 18·19번의 복소수와 정수해 조건으로 어려움 문항이 이어집니다. 반면 20·21번은 보통으로 분류되어 있습니다. 분류는 자동 분류 기준이며 개인의 체감 난도와 다를 수 있으므로, 서술·단답형 전체를 마지막까지 미루지 마세요.

출제 단원 — 부등식의 비중과 원의 응용

가장 많은 여러가지부등식은 절댓값의 구간 분할, 해가 주어진 이차부등식, 모든 실수에서의 성립 조건, 정수해 개수까지 이어집니다. 풀이 방법이 서로 다르므로 부등식을 무조건 전개하기보다 해집합을 수직선으로 나타낼지, 그래프와 판별식으로 볼지 먼저 선택하세요.

여러가지방정식은 주어진 근을 활용하는 기본 구조에서 근의 중복과 허근의 거듭제곱으로 확장됩니다. 복소수로 분류된 문항은 3번이지만 여러가지방정식의 18번에서도 켤레근과 거듭제곱 관계가 필요합니다. 단원별 문항 수만 보고 복소수 학습을 가볍게 넘기기 어렵습니다.

직선과 원에서는 점과 직선 사이의 거리가 반복해서 활용됩니다. 12번의 직접 계산을 익힌 뒤 14번의 교점 조건, 16번의 넓이 최댓값, 17번의 접선 해석, 21번의 같은 거리 조건으로 연결해 보세요. 같은 공식을 어떤 기하적 의미로 사용하는지 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 증가와 단원 중심의 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 늘고 쉬움과 보통은 줄었습니다. 형식이 같더라도 조건을 해석하는 데 필요한 부담까지 같다고 볼 수는 없습니다.

작년에는 직선의방정식이 가장 많았지만 올해는 여러가지부등식이 가장 많습니다. 평면좌표도 작년 1문항에서 올해 3문항으로 늘었습니다. 직선의 기본 공식에 더해 부등식의 해집합과 좌표의 내분·외분 관계를 함께 준비하는 것이 좋습니다.

작년의 어려움은 4·6·18·19번이었고 올해는 2·4·8·16·17·18·19번입니다. 서술·단답형 초반의 어려움은 이어지면서 객관식 초반과 후반에도 배치가 넓어졌습니다. 다음 시험 준비에서는 처음부터 순서대로 풀기만 하기보다 조건 판단 문제와 빠르게 처리할 기본형을 구별하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 난도 순위를 확정한 것은 아닙니다. 공통점은 한 가지 공식으로 끝나지 않고, 앞에서 얻은 관계를 다음 조건에 맞게 다시 해석해야 한다는 점입니다. 중간 결과 옆에 그 결과가 적용되는 조건을 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서 2·4번의 경우 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 6·9·12·13·14번처럼 기본 구조를 바로 확인할 수 있는 문항을 먼저 확보하고 돌아오는 방식이 가능합니다. 연습 중에는 계산 실수로 지체했는지 접근법을 정하지 못해 지체했는지 구별해 기록하세요.

객관식 끝의 16·17번에 매달리기 전에 서술·단답형 전체를 살펴보세요. 20번은 좌표와 분점 공식, 21번은 같은 거리라는 조건에서 출발할 수 있습니다. 18·19번에서는 반복 규칙이나 정수 후보의 범위를 먼저 적어 두면 검토 없이 계산만 반복하는 일을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 2번의 서로 다른 근, 7번의 엄격한 부등호, 10번의 두 점의 순서, 18번의 영 제외를 확인하세요. 19번은 경계의 정수가 포함되는지, 20번은 외분의 부호와 비의 방향이 맞는지, 21번은 절댓값의 부호 경우를 모두 다뤘는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 방정식은 주어진 근의 인수를 분리하는 것부터 연습하세요. 근과 계수의 관계를 적용한 뒤 중근과 공통근을 따로 확인하세요(1·2·4번 대비).
2. 부등식은 구간과 그래프를 함께 정리하세요. 절댓값의 부호 구간, 이차식의 해집합, 항상 성립하는 조건을 구별하세요(5·6·7·8번 대비).
3. 좌표는 거리의 제곱과 내분·외분 공식을 복습하세요. 두 점의 순서와 비의 방향을 먼저 표시하고 식을 세우세요(9·10·20번 대비).
4. 직선은 일반형의 계수로 위치 관계를 판단하고 거리 공식을 적용하세요. 절댓값 등식에서 가능한 부호를 빠짐없이 나누세요(11·12·13·21번 대비).
5. 원은 중심과 반지름을 찾은 뒤 거리와 직각 관계로 해석하세요. 교점 조건에서 넓이의 최댓값과 접선 판단으로 확장하세요(14·15·16·17번 대비).
6. 복소수의 거듭제곱은 낮은 차수의 관계식으로 줄이세요. 켤레 관계와 반복 규칙을 얻고 순허수에서 제외되는 경우를 검사하세요(3·18번 대비).
7. 정수해의 개수는 수직선에 후보를 놓고 확인하세요. 이동하는 구간에서 경계를 넘을 때 해가 어떻게 달라지는지 설명하세요(19번 대비).