늘푸른고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

늘푸른고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지부등식, 도형의이동, 이차함수, 다항식입니다. 좌표를 이용한 도형 해석을 중심으로 부등식과 대수적 관계를 연결하는 시험입니다.

기본 문항에서는 내분점, 수직 조건, 원을 나타내는 조건을 정확히 적용해야 합니다. 이후에는 거리의 합을 기하적으로 해석하거나, 넓이 조건으로 직선을 정하고, 접하는 원의 개수를 방정식의 실근 개수로 바꾸는 과정이 이어집니다. 공식을 아는 것과 적용할 대상을 찾는 것을 함께 연습하세요.

자동 분류 기준 어려움 문항이 객관식 중간부터 나타나지만 14·15번은 보통으로 분류됩니다. 번호가 뒤라고 모두 미루기보다는 전체를 훑고 접근 가능한 문항을 확보하는 운영이 필요합니다. 서술·단답형에서는 좌표 관계와 접선의 길이 관계를 근거와 함께 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중간의 도형 해석과 후반의 경우 분류

쉬움은 1·2·4번입니다. 내분비에 대응하는 좌표, 직선의 수직 조건, 반지름의 제곱이 양수라는 조건을 확인합니다. 보통 문항에서도 3번은 거리의 합을 보는 관점이, 9번은 열린 구간과 닫힌 구간의 공통부분 판단이 필요하므로 단순 계산 문제로만 받아들이지 마세요.

8번은 거리 제곱의 합을 중점과의 거리로 바꾸는 발상이 중요합니다. 11~13번은 넓이·대칭·분할 조건을 좌표식으로 정리해야 하며, 16~18번은 원의 중심 후보나 교점 개수를 원래 조건에 맞게 걸러야 합니다. 식을 얻은 뒤의 검토가 길어질 수 있는 구간입니다.

19·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 다만 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아닙니다. 연습할 때는 어려움이라는 표시만 보기보다 첫 관계식을 세우지 못했는지, 경우를 빠뜨렸는지, 계산에서 막혔는지를 구분해 복습하세요.

출제 단원 — 직선과 원을 중심으로 연결되는 좌표 기하

직선의방정식은 수직·평행 관계에서 출발해 넓이를 분할하는 직선과 수선의 교점으로 확장됩니다. 원의방정식은 원이 성립하는 조건, 직선과의 교점, 거리의 최솟값, 중심의 위치를 다룹니다. 직선과 원을 따로 외우기보다 점과 직선 사이의 거리가 두 단원에서 어떻게 쓰이는지 연결해 보세요.

평면좌표는 내분점과 거리 계산을 바탕으로 최솟값, 이등변삼각형, 외분점과 닮음 관계까지 다룹니다. 여러가지부등식은 모두 보통으로 분류되지만 절댓값을 푼 뒤 공통부분과 정수 조건을 확인하는 과정이 필요합니다. 부등호의 등호 유무를 끝까지 유지하는 습관이 중요합니다.

도형의이동·이차함수·다항식은 각각 1문항이지만 모두 어려움에 해당합니다. 출제 수가 적다는 이유로 뒤로 미루면 종이접기의 대칭, 개수로 정의된 함수, 접선 길이의 공식 변형 같은 유형을 놓칠 수 있습니다. 단원별 기본기를 익힌 다음 도형과 대수가 만나는 유형까지 넓혀 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답형은 줄고 어려움 문항은 증가

작년과 올해는 같은 수학(상) 시험입니다. 총 문항 수는 같지만 서술·단답형은 줄고, 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 형식상 서술 문항이 줄었다는 이유만으로 부담이 낮아졌다고 판단하기 어렵습니다. 작년에는 어려움이 12번부터 등장했으나 올해는 8번에서 먼저 나타납니다.

직선의방정식은 작년 6문항에서 올해 5문항으로, 여러가지부등식은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 원의방정식은 4문항에서 5문항으로 늘었고 평면좌표는 4문항으로 같습니다. 올해에는 도형의이동과 다항식도 포함되어 있어, 직선과 원의 공식을 도형 해석이나 식의 변형에 연결하는 준비가 필요합니다.

작년 서술·단답형 18·19번은 보통, 20번은 어려움이었지만 올해 19·20번은 모두 어려움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 객관식 후반을 풀고 남는 시간에 서술형을 처리하는 방식에만 의존하지 마세요. 조건을 식으로 세우는 단계와 후보를 검토하는 단계를 나누어 연습하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 결과를 원래 도형이나 구간에 되돌려 확인해야 합니다. 풀이 마지막에 위치·범위·경계 검사를 별도로 남겨 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 내분점과 수직 조건처럼 시작이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 8번이나 11~13번에서 관계식이 바로 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 살피는 편이 좋습니다. 14·15번을 확인한 뒤 어려움 구간으로 돌아오는 운영을 연습하면 앞 문항에 시간이 묶이는 일을 줄일 수 있습니다.

서술·단답형은 미리 읽고 필요한 관계를 메모하세요. 19번은 외분점의 좌표와 닮음의 대응, 20번은 같은 점에서 그은 접선 길이가 출발점입니다. 연습에서는 좌표식이나 길이 관계를 세우는 시간과 이후 계산 시간을 따로 기록해 보세요. 어느 단계가 느린지에 따라 복습할 내용이 달라집니다.

검토할 때는 4번의 원 성립 조건, 6·7·9번의 부등호와 끝점, 10번의 기울기를 정의할 수 없는 경우를 우선 확인하세요. 11번의 사분면, 12번의 선분 범위, 16번의 원 내부 조건도 후보를 거르는 기준입니다. 17·18번에서는 경계와 치환 전후의 개수 차이를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분·외분과 거리 공식을 정확히 복습하세요. 점의 순서와 비의 대응을 말로 설명한 뒤 좌표로 옮겨 보세요(1·19번 대비).
2. 직선의 수직·평행 조건과 점에서 직선까지의 거리를 묶어 연습하세요. 같은 거리 공식이 높이나 평행선 사이 간격으로 쓰이는 상황을 구별하세요(2·10·11·14번 대비).
3. 원의 중심과 반지름을 먼저 표시하고 직선과의 교점 및 거리의 최솟값으로 확장하세요. 최솟값에서는 등호가 실제로 성립하는 위치까지 확인하세요(3·4·5·8·16번 대비).
4. 절댓값 부등식은 수직선에 해집합을 그려 공통부분을 구하세요. 정수 개수와 매개변수 순서쌍을 셀 때 끝점의 포함 여부를 기록하세요(6·7·9번 대비).
5. 도형의 조건을 좌표와 넓이의 관계식으로 바꾸세요. 대칭이동의 거리 보존, 넓이 분할, 이등변 조건을 각각 경우 분류와 연결하세요(12·13·15번 대비).
6. 실근과 교점의 개수 문제는 구간·경계·치환 범위를 표로 정리하세요. 계산한 후보마다 원래 변수에서 몇 개의 해가 생기는지 확인하세요(17·18번 대비).
7. 접선 길이의 관계를 먼저 정리한 뒤 곱셈공식의 변형을 연습하세요. 변과 연장선에 접하는 배치를 나누어 식을 세우세요(20번 대비).