광남고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

광남고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

광남고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이번 시험의 확인된 출제 단원은 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한과 연속에서 배운 조건을 미분계수와 접선으로 확장하는 연결이 중요합니다.

초반의 보통 문항도 단순 대입만으로 처리되는 구성은 아닙니다. 2번은 합성된 입력의 접근 방향을 바꾸어 읽어야 하고, 6번은 변형된 극한에서 함수값과 미분계수를 분리해야 합니다. 공식의 이름을 기억하는 것에 더해 적용할 수 있는 형태로 식을 고치는 힘이 필요합니다.

중후반에는 도형의 넓이, 원 위의 점, 수열, 수평선과의 교점 등 다른 표현으로 주어진 조건이 등장합니다. 낯선 소재가 보이면 계산량부터 예상하기보다, 결국 어느 극한이나 기울기 조건으로 바뀌는지 먼저 적어 보세요. 조건 번역이 끝나면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중후반에 집중된 어려움 문항

자동 분류 기준에서 쉬움이 없다는 사실은 모든 문항의 계산이 길다는 뜻은 아닙니다. 1~9번은 연속 조건, 좌우미분계수, 평균값 정리처럼 출발 개념이 비교적 뚜렷한 구간입니다. 기본형을 안정적으로 풀어 이 구간에서 풀이 시간을 확보하는 것이 좋습니다.

10·11번에서 도형과 극한·접선의 연결을 만나고, 12번의 사잇값 정리를 지나면 13~18번이 모두 어려움입니다. 수열 조건을 평균변화율로 해석하거나 극한의 존재에서 중복 인수를 찾는 등, 주어진 말을 다른 수학적 조건으로 바꾸는 단계가 길어집니다.

19~21번은 자동 분류 기준 보통입니다. 중후반의 어려운 문항에 오래 머물러 이 구간을 놓치지 않도록 먼저 전체를 살펴보세요. 제공된 형식 분류에서 서술·단답형인 19번은 인수분해와 유리화의 근거를 정리해 두면 풀이를 간결하게 작성할 수 있습니다.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 미분까지 연결

함수의극한이 가장 많은 단원입니다. 다만 같은 단원 안에서도 5번의 치환과 식 정리, 10번의 도형 넓이 표현, 16번의 인수 중복도 판단, 18번의 교점 개수 함수처럼 필요한 사고가 다릅니다. 극한 계산 문제집의 한 유형만 반복하기보다 극한식을 만드는 단계까지 연습해야 합니다.

함수의연속에서는 극한값과 함수값을 일치시키는 기본 조건이 1·9번에 나타나고, 이를 곱함수로 확장한 것이 17번입니다. 12번은 사잇값 정리로 실근의 존재를 보장하며, 20번은 연속성을 이용해 약분에서 제외된 점의 함수값을 복원합니다.

미분계수와도함수, 도함수의활용은 공식 계산과 조건 해석을 함께 다룹니다. 14번은 극한 조건을 도함수의 조건으로, 15번은 접선 조건을 중근 구조로 바꾸는 연결이 핵심입니다. 단원별 표는 제공된 분류이며, 실제 학습에서는 극한·연속·미분을 연결해서 복습하는 편이 효과적입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 값 계산보다 경우를 나누는 기준을 먼저 세워야 한다는 점입니다. 인수의 차수, 입력이 경계에 닿는지 여부, 수평선의 높이가 특별한 위치를 지나는지를 표로 정리하세요. 위 선정은 문항 내용에 근거한 분석상 고난도 문항이며, 자동 분류 기준의 어려움 문항 안에서 학습상 주의할 대상을 고른 것입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 조건을 정확히 처리하고, 10·11번에서 도형 관계를 바로 세우기 어렵다면 필요한 보조선이나 접선식만 적어 둔 뒤 이동하세요. 12번과 19~21번까지 확인한 후 남은 어려움 문항으로 돌아오면, 해결 가능한 문항을 읽지 못한 채 끝내는 상황을 줄일 수 있습니다.

13~18번에서는 계산을 시작하기 전에 조건을 정리하는 시간을 두세요. 14번은 절댓값 때문에 좌우에서 부호가 달라지는 점, 15번은 접선식에서 함수값과 기울기 조건을 함께 얻는 점이 중요합니다. 풀이가 길어질 때는 새로운 식을 계속 전개하기보다 아직 쓰지 않은 조건이 무엇인지 확인하세요.

마지막 검토는 답만 다시 계산하기보다 조건 누락을 찾는 데 쓰세요. 2번의 접근 방향, 3번의 연속성 선확인, 4번의 자연수 조건, 12번의 실근 존재와 정확한 개수의 차이, 17번의 경계 예외, 18번의 끝점 포함 여부를 점검하세요. 19번은 약분 가능한 형태를 만든 과정이 빠지지 않았는지도 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 연속의 기본 조건부터 정리하세요. 유리식은 인수분해, 무리식은 유리화로 정리하고 극한값과 함수값을 구별합니다(1·4·9·19번 대비).
2. 입력 치환과 접근 방향을 연습하세요. 치환 뒤 변수가 어디로 어느 쪽에서 접근하는지 적고, 알려진 극한이 드러나도록 식을 나눕니다(2·5번 대비).
3. 미분계수의 정의를 변형식에서 찾아내세요. 함수값을 먼저 확인하고 증분의 부호와 배율을 맞춘 뒤 곱의 미분과 연결합니다(3·6·8번 대비).
4. 정리의 적용 조건을 문장으로 설명해 보세요. 평균값 정리의 연속·미분가능 조건, 사잇값 정리의 부호 변화, 나머지 항등식의 미분을 각각 정리합니다(7·12·21번 대비).
5. 접선과 평균변화율을 식으로 바꾸세요. 도형의 수직 관계를 기울기로, 접선 조건을 중근으로, 수열 조건을 평균변화율로 연결하는 연습을 합니다(11·13·15번 대비).
6. 극한의 소거 차수와 경계 경우를 집중 복습하세요. 인수의 중복도에 따른 경우를 나누고, 곱함수의 좌우극한을 표로 비교합니다(14·16·17·20번 대비).
7. 도형과 그래프 문제는 식을 세우는 단계부터 다시 풀어 보세요. 닮음으로 넓이를 표현하는 연습과 높이에 따른 교점 개수표 작성 연습을 한 뒤, 전체 시험에서 풀이 순서를 점검합니다(10·18번 대비).