하남고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

하남고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

하남고등학교는 경기 하남시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 명제의 참·거짓과 함수의 정의에서 시작해 합성 그래프와 역함수의 교점까지 연결됩니다.

초반에는 대응 그림을 따라 함숫값을 읽거나 역함수의 관계를 원래 함수로 바꾸는 기본형이 등장합니다. 이후에는 일대일대응 조건으로 가능한 함숫값을 제한하고, 함수의 증가·감소와 그래프의 모양을 이용해 해의 개수를 판단합니다. 식을 길게 전개하기 전에 어떤 성질을 사용할지 정하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 상수함수와 항등함수, 구간별 함수와 역함수, 명제의 역과 대우를 다룹니다. 객관식에서 익힌 개념을 풀이의 근거로 설명할 수 있어야 합니다. 특히 구한 후보가 원래 구간에 속하는지, 포함 관계의 방향이 맞는지까지 적어 두면 검토하기 수월합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~6번으로 명제의 정의, 합성함숫값, 유리함수의 사분면, 역함숫값, 서로 같은 함수가 중심입니다. 기본 개념을 짧은 계산으로 확인하는 구간이지만, 거짓인 명제와 명제가 아닌 문장을 구별하거나 제한된 정의역을 읽는 정확성이 필요합니다.

보통은 7·8·9·10·12·22번입니다. 합성식 정리와 필요충분조건, 일대일대응의 개수, 귀류법으로 성격이 다양합니다. 11번에서 막히더라도 12번의 증명 흐름이나 22번의 함수 정의를 먼저 확인해 볼 수 있습니다.

어려움은 11·13·14·15·16·17·18·19·20·21·23·24번입니다. 자동 분류 기준으로 전체의 절반이며, 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 객관식 후반에서는 경우 분류가 길어질 수 있어, 풀이 방향이 잡힌 문항과 추가 검토가 필요한 문항을 구별하는 운영이 중요합니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수가 중심

합성함수와역함수는 2·4·5·7·9·14·16·18·23번입니다. 단순 대입에서 합성식 변형, 유한집합의 대응 결정, 반복 합성 그래프, 역함수와의 교점으로 확장됩니다. 같은 단원을 공부하더라도 함숫값 계산만 반복해서는 후반 유형을 충분히 대비하기 어렵습니다.

함수 단원은 일대일대응의 개수와 조건에 맞는 대응 결정, 상수함수와 항등함수를 다룹니다. 유리함수와 무리함수에서는 점근선, 정의역, 증가·감소, 평행이동과 대칭이동을 활용합니다. 특히 무리함수의 11·15·21번은 모두 자동 분류 기준 어려움이므로 그래프를 직접 그리는 연습을 권합니다.

명제는 1·8·12·24번입니다. 명제인지 판단하는 기초에서 필요충분조건, 귀류법, 진리집합의 포함 관계까지 이어집니다. 문장으로 읽은 조건을 집합과 구간으로 다시 표현하고, 역과 대우의 차이를 설명할 수 있는지 확인하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 함수·명제 구성

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말 공통수학2를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 하남고는 총 24문항으로 지역 평균 21.4문항보다 많습니다. 서술·단답형도 3문항으로 평균 1.7문항보다 많아, 전체 문항을 훑고 풀이와 답안 작성 시간을 함께 배분하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 50%로 지역 평균 55%보다 낮으며, 이 비율 순위는 11개교 중 7위입니다. 합성함수와역함수가 가장 많은 학교도 있고 명제나 유리함수가 중심인 학교도 있습니다. 하남고를 준비할 때는 합성 계산에서 반복 합성 그래프와 역함수의 교점으로 확장한 뒤, 명제의 서술까지 연결해 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 그래프의 구간과 경계를 먼저 정해야 한다는 것입니다. 계산을 시작하기 전에 구간별 모양을 그려 두고 마지막에는 경계의 포함과 교점 중복을 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 개념과 계산을 정확히 처리하되, 경우 정리가 길어지면 표시하고 넘어가세요. 11번 이후에도 12번과 22번처럼 접근 방식이 다른 문항이 있으므로 순서대로 모두 해결하려고 시간을 묶어 두지 않는 편이 좋습니다.

서술·단답형은 답안에 필요한 근거를 먼저 적어 두세요. 22번은 상수함수와 항등함수의 정의, 23번은 구간 선택과 대칭 관계, 24번은 진리집합의 포함 관계가 출발점입니다. 연습할 때 계산 시간과 설명을 쓰는 시간을 함께 기록해 자신의 배분 기준을 만드세요.

검토에서는 15번의 제곱 전 부호, 17번의 중간 치역, 18번의 중복 근, 20번의 분모와 차수 변화부터 확인하세요. 24번은 여집합을 취할 때 포함 방향이 뒤집히는지와 열린 구간의 끝점을 점검해야 합니다. 전개를 처음부터 반복하기보다 조건을 누락한 곳을 찾아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제와 함수의 정의를 말로 설명하고 기본 대응을 읽으세요. 거짓인 명제, 제한된 정의역, 합성 순서를 구별하세요(1~6번 대비).
2. 합성의 결합법칙과 역함수 소거를 연습하세요. 함수 순서를 적은 뒤 필요한 함숫값만 계산하세요(7·9번 대비).
3. 유한집합의 대응을 표로 정리하세요. 원소 수 조건과 출력의 중복 금지를 따로 표시하며 후보를 제거하세요(10·13·14·19번 대비).
4. 그래프의 정의역과 증가·감소를 먼저 확인하세요. 끝점 비교와 중간 치역을 이용해 교점·최솟값 문제를 연습하세요(3·11·15·17번 대비).
5. 반복 합성, 절댓값과 대칭이동을 구간별 그림으로 정리하세요. 경계의 교점과 서로 다른 경우에 겹치는 근을 점검하세요(16·18·20·21·23번 대비).
6. 진리집합과 증명 과정을 문장으로 쓰세요. 필요충분조건, 귀류법, 역과 대우를 구별하고 함수의 정의도 서술로 정리하세요(8·12·22·24번 대비).