정신여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

정신여자고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 자료의 단원 분류상 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 정적분, 정적분의 활용입니다. 접선과 운동부터 구간별 함수, 적분으로 정의된 함수까지 함께 다룹니다.

시험의 특징은 같은 개념을 계산과 조건 해석 양쪽에서 확인한다는 점입니다. 접선의 방정식을 다루는 1번과 접선 기울기를 매개변수의 함수로 바꾸는 11번은 출발점은 비슷하지만 필요한 사고 단계가 다릅니다. 기본 공식을 안 뒤 무엇을 변수로 둘지 정해야 합니다.

서술·단답형이 시험 끝에 몰려 있지 않습니다. 15번은 극댓값, 16번은 곡선과 직선 사이 넓이, 17번은 움직인 거리를 다룹니다. 앞의 어려운 객관식에 머물다가 이 구간을 늦게 시작하지 않도록 전체 구성을 먼저 살펴보세요.

난이도 분포 — 절반이 어려움, 마지막 구간에 집중

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번과 15번입니다. 접선 기울기, 운동 방향, 정적분의 성질, 절댓값 적분, 극댓값처럼 기본 원리를 직접 적용합니다. 이 문항들도 부호와 구간 확인은 필요하므로 익숙하다는 이유로 조건을 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항에서는 역함수 그래프의 대칭, 도함수 곱의 부호, 도형의 변화율처럼 표현을 바꾸는 과정이 들어갑니다. 7번의 개념 판단은 반례로 점검하고, 16·17번은 적분 구간을 정하는 이유를 먼저 적으면 계산이 안정됩니다.

어려움은 초반의 6·9번, 중간의 11~14번, 마지막의 18~22번으로 이어집니다. 특히 마지막 구간에는 미분가능성, 부호 변화, 실근 개수와 적분 조건이 결합됩니다. 뒤쪽에 남겨 둘 시간은 단순 적분 계산보다 조건을 해석하는 데 쓰일 가능성이 큽니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분 조건 해석

도함수의활용은 전체의 절반을 차지합니다. 운동 방향과 극값을 직접 구하는 유형뿐 아니라 실근의 부호, 접선, 교점 수, 절댓값이 포함된 도함수까지 이어집니다. 도함수를 구한 뒤 증가·감소표를 해석하는 단계까지 학습해야 이 비중을 감당할 수 있습니다.

정적분의활용에서는 넓이와 움직인 거리의 부호 처리가 공통 바탕입니다. 5번은 역함수의 적분을 대칭인 영역으로 해석하고, 9번은 속도의 적분으로 위치를 만든 뒤 원점에 돌아오는 조건을 조사합니다. 단원명이 같아도 필요한 표현 전환은 서로 다릅니다.

정적분과 미분계수와도함수의 어려움 문항도 별도로 대비해야 합니다. 13번은 두 식 중 선택되는 식이 바뀌는 지점의 미분가능성을 따지고, 18·22번은 함수의 형태와 부호를 정한 뒤 적분 조건을 사용합니다. 분류표를 학습 순서로 활용하되 개념 사이 연결을 끊지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답은 줄고 어려움은 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 올해는 쉬움이 늘고 보통이 줄었으며 어려움은 소폭 늘었습니다. 따라서 기본 문항을 확보하는 구간과 복합 조건을 처리하는 구간을 나누어 준비하는 것이 좋습니다.

도함수의활용은 작년 9문항에서 올해 11문항으로, 정적분의활용은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 정적분은 7문항에서 4문항으로 줄었지만, 올해도 구간별 함수와 부호 조건을 연결한 문항이 있어 기본 적분 계산만으로 대비하기는 어렵습니다.

작년 어려움은 9번부터 나타났지만 올해는 6번부터 등장합니다. 작년 서술·단답형에는 어려움으로 분류된 19번이 있었고, 올해 서술·단답형은 쉬움과 보통입니다. 올해 마지막 18~22번은 모두 어려움이므로 형식보다 조건의 복잡성을 보고 풀이 순서를 정하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 풀이 구조상 주의할 대상으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경계나 접촉 지점에서 일반적인 경우와 다른 일이 일어납니다. 식을 변형한 뒤 경계의 등호와 좌우 상황을 별도로 확인하는 습관이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 1~4번을 풀고, 6번처럼 그래프 해석에 시간이 드는 문항은 접근 방향을 적어 둔 뒤 다음 문항을 확인하세요. 11~14번에 연속해서 막힌다면 15~17번 서술·단답형을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 시험 시간 정보가 없으므로 고정된 분 단위보다 완료할 구간을 기준으로 계획하세요.

서술·단답형에서는 미분하거나 적분한 식만 쓰지 말고 그 식을 쓰는 이유도 정리하세요. 15번은 극대 판정, 16번은 교점과 위아래 관계, 17번은 종료 시각과 속도 부호가 핵심입니다. 넓이와 거리를 양수로 더하는 과정까지 확인한 뒤 마지막 구간으로 넘어가세요.

마지막 검토는 계산 전체를 반복하기보다 조건을 점검하는 데 쓰세요. 6·9번은 근이 속하는 영역, 12·13번은 중근과 접촉, 19번은 도함수의 실제 부호 변화, 21번은 극값에서의 교점 수가 우선입니다. 22번에서는 연속성이 부호 선택을 어디까지 제한하는지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선과 극값의 기본 절차를 정리하세요. 접점·기울기·함수값을 구분하고 증가·감소표를 끝까지 쓰는 연습입니다(1·2·15번 대비).
2. 부호표를 넓이와 거리까지 연결하세요. 함수의 영점과 속도의 영점에서 구간을 나누고 절댓값을 해제하는 훈련입니다(3·4·16·17번 대비).
3. 그래프를 다른 표현으로 옮기세요. 역함수의 대칭, 도형의 높이와 넓이, 주기함수의 적분 구간을 그림에 표시합니다(5·10·14번 대비).
4. 실근 개수와 접촉을 함께 연습하세요. 수평선의 높이, 양의 시각, 구간별 허용 범위를 확인하며 경계와 중근을 따로 다룹니다(6·9·11·12번 대비).
5. 구간별 함수와 절댓값 조건을 차함수로 바꾸세요. 미분가능성과 부호 변화가 근의 중복도에 주는 제약을 말로 설명합니다(13·18·19·20·22번 대비).
6. 적분방정식을 원시함수의 그래프로 해석하세요. 극값 높이와 그 주변에서 교점 개수가 어떻게 달라지는지 비교하고, 제한 시간 안에 그림부터 그립니다(21번 대비).