덕수고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

덕수고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가와 감소, 극값과 최적화에서 출발해 넓이와 운동, 적분으로 정의된 함수까지 다룹니다.

계산법을 아는 것만으로는 풀이가 끝나지 않는 구성이 눈에 띕니다. 도함수가 사라지는 지점에서도 부호 변화를 확인해야 하고, 구간별로 주어진 도함수에서는 연속 조건을 이용해 원래 함수를 연결해야 합니다. 접선도 기울기를 구하는 데서 더 나아가 직선과 곡선의 위아래 관계를 판단하는 도구로 쓰입니다.

서술·단답형은 가속도에서 시각을 정해 위치를 구하는 문제, 유한합을 적분해 자연수 조건을 판단하는 문제, 구간별 도함수의 부호를 검토하는 문제로 이어집니다. 객관식 후반에 시간이 많이 걸릴 수 있으므로 서술형의 기본 접근을 먼저 확인해 두는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·6번은 극솟값 계산, 곡선과 직선 사이의 넓이, 도함수 그래프의 해석을 다룹니다. 특히 6번은 도함수의 영점만 세면 틀리기 쉽습니다. 기본 문항에서도 원래 함수와 도함수를 구별하고 증가·감소를 확인하는 절차를 생략하지 마세요.

보통 문항은 초반의 운동·최적화·명제 판단과 8번의 부정적분, 서술·단답형 18·19번에 분포합니다. 7번에서 풀이가 막혀도 8번과 서술형을 확인할 필요가 있습니다. 번호 순서만으로 뒤쪽 문항을 모두 어렵다고 판단하면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다.

9~17번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 적분 등식의 미분, 절댓값 함수의 미분가능성, 수평선과의 교점, 접선과 부등식처럼 서로 다른 해석이 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 극값을 직접 구하는 유형부터 매개변수 범위와 그래프 조건을 함께 다루는 유형까지 폭이 넓습니다. 5·6번에서 극값과 부호 변화의 기본 원리를 확인한 뒤 7번의 판별식, 10번의 절댓값, 16번의 열린구간 조건으로 확장해 공부하는 편이 좋습니다.

정적분의활용은 넓이와 운동이 함께 나옵니다. 13번은 대칭성과 넓이 조건을 정적분으로 옮기고, 15번은 곡선 아래의 영역과 삼각형을 합쳐 넓이 함수를 만든 뒤 미분합니다. 적분 단원에서도 그래프를 먼저 읽고 최적화로 연결하는 연습이 필요합니다.

정적분에서는 적분 등식으로부터 함수를 복원하는 9번과 구간별 함수의 미분가능성을 이용하는 17번이 중요합니다. 반면 19번은 유한합의 각 항을 적분하는 기본 성질이 출발점입니다. 부정적분 8번도 식을 먼저 정리하면 계산이 줄어들므로, 복잡해 보이는 형태를 곧바로 적분하려 하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 넓어진 어려움 구간

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 4문항에서 올해 11문항으로 늘었고, 보통은 14문항에서 6문항으로 줄었습니다. 총 문항 수가 21문항에서 20문항으로 줄었다는 사실만으로 풀이 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다.

도함수의활용은 작년 8문항에서 올해 12문항으로 늘었습니다. 공통으로 출제된 정적분의활용은 5문항에서 4문항, 정적분은 4문항에서 3문항, 부정적분은 2문항에서 1문항으로 바뀌었습니다. 이번 시험 대비에서 미분 활용의 조건 해석을 우선할 근거가 되지만, 다음 출제 비중을 그대로 예측하는 근거는 아닙니다.

작년 어려움 문항은 객관식 15~18번에 모였지만 올해는 7번부터 나타나며 9~17번과 서술·단답형 20번으로 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때는 후반 몇 문제만 따로 푸는 연습에 그치지 말고, 중간에 까다로운 문제가 나와도 풀이 순서를 조절하며 기본 문항을 확보하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 세 문항은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 국소적인 계산을 마친 뒤 전체 구간을 다시 확인해야 합니다. 접점, 경계, 다른 구간의 부호를 검토하는 과정을 풀이의 마지막 단계로 고정하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 바로 식을 세울 수 있는 문항을 확보하세요. 7번의 매개변수 분류에서 시간이 길어지면 표시하고 8번을 확인하며, 9~17번을 모두 푼 뒤에야 서술형으로 넘어가겠다는 순서는 피하는 편이 좋습니다. 18·19번의 출발 원리를 먼저 확인해 두면 풀이 순서를 유연하게 정할 수 있습니다.

서술·단답형에서는 계산 전에 근거를 짧게 적으세요. 18번은 속도를 미분해 가속도 조건으로 시각을 정하고, 출발 위치와 속도의 적분으로 위치를 구한다는 흐름이 중요합니다. 19번은 합과 적분을 바꿀 수 있는 유한합임을 확인하고 자연수의 최소 조건을 검토하세요. 20번은 구간별 부호표를 남겨 추가 극값이 없다는 근거까지 보여 주세요.

마지막 검토는 조건의 차이를 중심으로 하세요. 3번의 방향 전환은 속도가 사라지는 것과 부호가 바뀌는 것을 구별하고, 13·15번의 넓이는 그래프가 축 아래에 있을 때 부호를 바꿔야 합니다. 16번의 열린구간은 끝점을 최댓값·최솟값의 후보로 그대로 넣을 수 없으며, 17번은 연결점의 미분가능성 확인이 빠지지 않았는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표로 증가·감소와 극값을 판정하세요. 영점에서 부호가 유지되는 예와 미분불가능한 극점의 예를 함께 정리하세요(1·5·6·7번 대비).
2. 운동과 도형의 최적화에서 변수를 정하는 연습을 하세요. 시간과 길이의 허용 범위를 적고, 방향 전환과 최대가 되는 근거를 확인하세요(3·4·18번 대비).
3. 부정적분은 식을 먼저 정리하고, 정적분 등식은 변수와 적분변수를 구별해 미분하세요. 유한합의 항별 적분도 복습하세요(8·9·19번 대비).
4. 절댓값과 구간별 함수에서는 연결점의 연속·미분가능 조건을 먼저 확인하세요. 적분상수와 영점의 중복 구조를 그래프에 연결하세요(10·11·17번 대비).
5. 넓이는 대칭과 부호로 구간을 나누고, 매개변수가 있으면 넓이 함수를 만들어 미분하세요. 수평선과 곡선의 교점 수도 함께 연습하세요(2·12·13·15번 대비).
6. 접선과 부등식, 열린구간의 최댓값·최솟값을 묶어 연습하세요. 구간별로 얻은 후보가 전체 조건을 만족하는지 마지막에 검증하세요(14·16·20번 대비).