서울삼육고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

서울삼육고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

서울삼육고등학교는 경기 구리시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 극대·극소와 최대·최소, 운동의 해석, 적분으로 정의된 함수와 넓이가 함께 출제됩니다.

기본 문항에서는 다항함수의 미분과 적분을 정확히 수행하고 그 결과의 뜻을 읽어야 합니다. 도함수가 사라지는 지점과 실제 극점은 구별해야 하며, 정적분도 넓이인지 부호를 포함한 누적량인지 먼저 판단해야 합니다. 계산 공식을 외우는 것만으로는 이 구별을 대신하기 어렵습니다.

후반부는 같은 개념을 여러 조건 안에서 다시 사용하는 구성이 두드러집니다. 절댓값을 풀어 그래프의 교점을 세거나 적분함수의 극소 조건을 원래 함수의 관계로 바꾸어야 합니다. 풀이를 시작할 때 조건을 부호표와 그래프로 옮기는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 사이의 그래프 해석과 후반 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반부터 중반까지 넓게 배치되어 있고 서술·단답형 20번도 포함됩니다. 부정적분 계산, 적분 구간 연결, 넓이와 운동의 기본형을 안정적으로 처리하면 후반 문제를 검토할 여유를 만들 수 있습니다. 다만 쉬움 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

자동 분류 기준 보통 문항은 4·5·10·15·16·17·21번입니다. 방정식의 실근 개수를 증감으로 판단하거나, 모든 입력에서 성립하는 부등식을 최솟값 문제로 바꾸는 등 계산 전 해석이 필요합니다. 21번은 넓이의 구간 분할 근거를 서술하는 연습까지 연결하세요.

8번에서 자동 분류 기준 어려움 문항이 먼저 등장한 뒤 기본형이 다시 이어집니다. 후반의 18·19번과 22~25번에서는 경우 분류와 조건 검증이 길어질 수 있습니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 동일하다고 단정할 수 없으므로, 자신의 풀이에서 막히는 단계도 따로 기록하세요.

출제 단원 — 도함수의활용을 중심으로 적분까지 이어지는 부호 해석

도함수의활용은 13문항으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 극값과 최댓값·최솟값뿐 아니라 실근의 개수, 부등식, 부피의 최적화, 속도와 가속도까지 다룹니다. 증감표를 작성한 뒤 무엇을 비교해야 하는지 문항의 목적에 맞게 선택하는 훈련이 필요합니다.

정적분은 6문항이며 구간의 성질과 적분을 포함한 등식에서 시작해 적분함수의 극값으로 확장됩니다. 적분의 위끝만 변하는 경우와 양 끝이 함께 변하는 경우를 구별하세요. 특히 19번은 절댓값이 있는 적분을 미분한 뒤에도 부호에 따른 검토가 남습니다.

정적분의활용 4문항은 넓이와 이동 거리를 다루며, 25번에서는 역함수의 대칭성까지 연결됩니다. 부정적분 2문항도 단순 계산에 그치지 않고 극값 조건으로 적분상수를 정하는 내용이 포함됩니다. 미분과 적분을 별개 단원으로만 공부하기보다 같은 함수의 성질을 서로 어떻게 설명하는지 연결해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 필요한 등식을 얻는 단계와 그 등식이 원래 조건을 만족하는지 확인하는 단계가 구별됩니다. 후보를 구한 직후 풀이를 끝내지 말고 극소 여부, 경계, 정의역을 되짚어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 미분·적분과 부호 판단이 바로 가능한 문항부터 확보하세요. 8번의 그래프 해석에서 막히면 표시하고 뒤의 기본형을 확인하는 운영이 좋습니다. 18·19번에 시간을 오래 쓴 뒤 서술·단답형을 시작하면 근거를 정리할 여유가 부족해질 수 있으므로 전체 구성을 먼저 훑어보세요.

서술·단답형 20번은 위치에서 속도와 가속도로 이어지는 미분 관계를 적고, 운동 방향 변화는 속도의 좌우 부호로 설명하세요. 21번은 곡선이 축의 위와 아래에 놓이는 구간을 표시한 뒤 넓이의 적분식을 작성하세요. 연습에서는 계산 시간과 부호를 판단하는 시간을 구별해 기록하면 어느 부분을 보완할지 찾기 쉽습니다.

검토할 때는 11번의 닫힌구간 끝점, 14번의 거리와 변위 구별, 16번의 판별식 경계를 우선 확인하세요. 후반에서는 절댓값을 풀 때 적용한 구간과 서로 다른 실근의 중복 여부를 살펴야 합니다. 22번처럼 식을 변형하며 제외한 입력이 있는 경우에는 연속성으로 그 지점까지 관계를 이어 갈 수 있는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항함수 미분과 부정적분을 복습하고 극값 조건으로 적분상수를 정해 보세요. 계산 뒤 다시 미분해 원래 도함수와 맞는지 점검하세요(1·2·5·12번 대비).
2. 증감표에서 극값, 닫힌구간의 최대·최소, 실근 개수로 결론을 옮기는 연습을 하세요. 도함수가 사라져도 부호가 바뀌지 않는 경우를 포함하세요(4·10·11·15·16번 대비).
3. 정적분의 구간 연결과 적분을 포함한 등식을 묶어 복습하세요. 적분 구간이 고정되어 상수인 경우와 적분 끝점이 변해 미분할 수 있는 경우를 구별하세요(3·6·9·17번 대비).
4. 위치·속도·가속도와 거리의 차이를 부호표로 정리하세요. 속도가 사라지는 시점에서 실제 방향 변화가 있는지 설명하는 답안도 작성하세요(13·14·20번 대비).
5. 넓이는 교점과 위아래 관계를 먼저 정해 적분식을 세우세요. 축 아래 구간의 부호를 바꾸는 이유를 문장으로 설명해 보세요(7·21번 대비).
6. 절댓값과 적분함수의 극값을 결합한 문제에서는 후보 생성과 검증을 나누어 기록하세요. 구간 경계와 수평선이 극점에 닿는 경우를 빠짐없이 확인하세요(8·18·19·23·24번 대비).
7. 미분계수의 정의와 연속성, 역함수의 단조 조건을 복습하세요. 조건을 식으로 바꾼 뒤 제외한 입력과 허용 범위를 마지막에 다시 확인하세요(22·25번 대비).