감일고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

감일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

감일고등학교는 경기 하남시에 있습니다. 이번 시험은 도함수를 이용한 함수 해석에서 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지 이어집니다. 미분가능성과 절댓값 함수의 그래프를 연결하는 문항도 포함되어 있어 미분과 적분의 기본 개념을 함께 점검해야 합니다.

초반에는 극값 조건으로 계수를 정하거나 부정적분의 적분상수를 찾는 유형이 등장합니다. 중반에는 도함수 그래프, 속도와 가속도, 원뿔의 부피 변화율처럼 식의 의미를 읽어야 하는 문제가 이어집니다. 공식을 알고 있더라도 무엇을 미분하거나 적분할지 정하지 못하면 풀이가 길어집니다.

후반에는 조건을 새로운 함수나 구간별 식으로 바꾸는 일이 중요합니다. 항상 성립하는 부등식은 최댓값·최솟값으로, 실근 개수는 곡선과 직선의 교점으로 해석해야 합니다. 자동 분류 기준 어려움 구간에서는 계산에 앞서 풀이의 기준을 세우는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 15~20번에 집중된 조건 해석

쉬움 문항은 극값과 증감 조건, 부정적분의 정의, 정적분의 기본 성질을 다룹니다. 특히 2·8번은 적분상수를 주어진 함숫값으로 정하는 과정이 핵심입니다. 6·9번은 적분 계산을 하더라도 원래 등식과 양수 조건을 끝까지 확인해야 합니다.

보통 문항에서는 개념의 구별이 중요해집니다. 3번은 도함수가 사라지는 점과 극값을 갖는 점을, 10번은 정지하는 시각과 운동 방향이 바뀌는 시각을 구별합니다. 13·14번은 적분하기 전에 속도나 두 함수의 차의 부호에 따라 구간을 나누어야 합니다.

15~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 적분함수의 최소 조건, 전 구간 부등식, 절댓값의 미분가능성, 이동 구간에서의 최댓값처럼 서로 다른 표현을 오가는 문제가 이어집니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않지만, 후반 풀이 시간을 확보할 필요는 분명합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분이 중심

도함수의활용은 문항 수가 가장 많고 시험 전반에 걸쳐 등장합니다. 1·5번의 극값과 증감에서 출발해 7번의 일대일성, 10·11번의 변화율, 16·19번의 부등식과 교점 해석으로 확장됩니다. 도함수를 구하는 연산과 그 부호를 해석하는 과정을 나누어 연습하세요.

정적분은 적분 구간의 분할뿐 아니라 적분으로 정의된 함수와 등식까지 다룹니다. 12번은 적분 구간의 양 끝이 고정되어 있어 적분값을 상수로 놓을 수 있지만, 18번은 위끝과 피적분식에 변수가 함께 들어갑니다. 적분 기호가 비슷해 보여도 변수의 위치에 따라 접근법이 달라집니다.

부정적분은 원함수를 복원하는 기본기를 확인하고, 정적분의활용은 거리와 넓이로 이어집니다. 특히 20번은 최댓값을 나타내는 함수를 먼저 구성한 다음 넓이를 구해야 합니다. 따라서 적분 연산만 반복하기보다 적분할 함수를 스스로 정하는 연습을 포함하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 수학II 기말고사

같은 2024학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 21.5문항, 서술·단답은 1.5문항입니다. 감일고는 전체 문항 수와 서술·단답 수가 이 평균보다 적습니다. 다만 문항 수만으로 풀이 시간의 여유를 판단하기는 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 감일고가 30%로 이웃 학교 평균 41%보다 낮고, 5개교 중 4위입니다. 모든 학교에서 가장 많은 단원은 도함수의활용입니다. 이 공통점만으로 세부 단원 비중이나 개별 문항의 난도까지 같다고 볼 수는 없습니다.

감일고 학생은 도함수 활용의 기본기를 확보하면서 후반에 이어지는 적분 조건 해석을 준비하세요. 특히 서술·단답형의 수가 적어도 18번처럼 식을 변형하는 근거를 써야 하므로, 객관식 연습에서도 출발 조건과 미분 과정을 짧게 기록하는 습관이 도움이 됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 계산 가능한 형태로 바꾸는 과정이 길고, 그 과정에서 구간이나 변수의 역할을 놓치기 쉽습니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 기준으로 나눌지 먼저 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본 문항을 안정적으로 처리하고 15~20번을 위한 시간을 남기세요. 12번의 연립 과정이나 14번의 넓이 계산에서 오래 멈추면 표시한 뒤 전체 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 후반을 순서대로 모두 풀겠다고 정하기보다 각 문항의 출발점이 보이는지 먼저 판단하세요.

18번은 서술·단답형이므로 검토 시간을 남겨 두는 것이 좋습니다. 경계 대입으로 얻은 조건, 적분식의 분리, 미분으로 얻은 관계를 연결해 쓰세요. 중간 계산이 일부 남더라도 어떤 조건을 사용했는지 읽히도록 정리하고, 연습에서는 계산 시간과 서술 정리 시간을 따로 확인해 보세요.

검토할 때는 계산보다 조건의 종류를 먼저 확인하세요. 3·10번은 도함수나 속도의 부호 변화, 13·14번은 거리와 넓이를 위한 구간 분할이 중요합니다. 16번은 모든 실수라는 범위와 정수 조건을, 17·20번은 절댓값이나 이동 구간 때문에 생기는 경계와 예외를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 증감표와 극값 판단부터 복습하세요. 도함수의 근을 찾은 뒤 반드시 좌우 부호를 적고, 부호가 바뀌지 않는 경우도 함께 연습하세요(1·3·5·7·10번 대비).
2. 부정적분과 초기 조건을 묶어 연습하세요. 합과 차의 관계를 정리하는 단계와 적분상수를 정하는 단계를 분리하세요(2·4·8번 대비).
3. 정적분의 기본 성질과 고정 구간의 적분 등식을 익히세요. 적분값을 상수로 둘 수 있는지, 제곱이 적분 기호 안에 있는지부터 구별하세요(6·9·12번 대비).
4. 변화율, 거리, 넓이를 각각 식으로 표현하세요. 닮음으로 변수를 연결하고, 속도나 함수의 차가 부호를 바꾸는 곳에서 적분 구간을 나누세요(11·13·14번 대비).
5. 함수의 최댓값·최솟값으로 조건을 바꾸는 훈련을 하세요. 적분함수의 부호와 전 구간 부등식, 이동 구간의 끝값 비교로 확장하세요(15·16·20번 대비).
6. 절댓값의 미분가능성과 접선에 따른 교점 변화를 스케치하세요. 변수 상한의 적분 등식은 변형과 미분 근거까지 직접 써 보세요(17·18·19번 대비).