잠실여자고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

잠실여고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

잠실여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 집합, 명제, 합성함수와역함수, 유리함수, 절대부등식입니다. 집합 연산과 논리 관계를 정확히 읽는 기본기에서 함수의 그래프와 대응 조건을 연결하는 문제까지 다룹니다.

집합에서는 원소를 직접 비교하는 기본형과 대응 규칙을 해석하는 응용형이 함께 나옵니다. 명제에서는 진리집합의 포함 관계, 필요조건의 방향, 대우와 부정을 구별해야 합니다. 같은 부등식이 등장하더라도 모든 대상에 대한 조건인지, 어떤 대상의 존재를 말하는지에 따라 접근이 달라집니다.

함수 영역은 함숫값 계산만으로 끝나지 않습니다. 합성한 그래프가 어느 지점에서 꺾이는지, 제한된 구간에서 일대일인지, 치역이 공역을 모두 채우는지를 확인해야 합니다. 서술·단답형은 결론을 얻는 계산과 함께 그 계산이 허용되는 범위를 점검하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후의 조건 결합

쉬움으로 분류된 1·2·4·5·8·9번은 집합의 정의와 연산, 명제의 증명, 역함수의 기본 관계를 점검합니다. 이 구간에서는 복잡한 전개보다 개념을 정확한 표현으로 바꾸는 것이 우선입니다. 차집합의 방향이나 역함수의 입력과 출력을 뒤집으면 짧은 풀이에서도 오류가 생깁니다.

보통 문항에는 반복 합성의 규칙, 진리집합의 포함 관계, 산술평균과 기하평균의 관계가 포함됩니다. 서술·단답형 16·18번도 이 구간에 속하므로 객관식 후반에 막혔을 때 함께 살펴볼 만합니다. 형식만으로 풀이 순서를 고정하지 말고 출발점이 보이는 문항을 먼저 확보하세요.

어려움 문항에서는 그래프를 새로 구성하거나 가능한 대응을 나누는 과정이 길어집니다. 특히 19·20번은 역함수 존재 조건을 서로 다른 상황에 적용해야 합니다. 표의 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 집합과 합성함수·역함수가 중심

집합은 기본 원소 비교에서 시작해 포함배제, 조건을 만족하는 부분집합, 다항식의 함수값과 소수의 교집합으로 확장됩니다. 15번은 원소 개수 조건과 원소 사이의 대응을 함께 다루므로, 벤 다이어그램만 그리기보다 대응 화살표를 추가하는 연습이 도움이 됩니다.

합성함수와역함수에서는 6·9번의 함숫값 관계를 바탕으로 12번의 합성 그래프, 14·20번의 구간별 일대일대응, 19번의 유한집합 위 대응으로 이어집니다. 역함수의 식을 기계적으로 구하기보다 입력과 출력의 관계를 먼저 복원하는 습관을 들이세요.

명제는 논리 표현을 집합이나 부등식으로 옮기는 능력을 확인합니다. 유리함수는 반복 합성, 직선과의 위치 관계, 평행이동과 치역을 다루며, 절대부등식은 치환과 등호 성립 조건을 연결합니다. 단원별 공식을 따로 외우는 데서 그치지 말고 조건을 해석하는 공통 절차를 익혀야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건을 다시 표현하는 과정이 두드러져 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 구간이나 경우를 나누는 기준이 필요합니다. 풀이의 첫 줄에 분류 기준을 쓰고 마지막에 경계와 누락을 확인하는 방식으로 복습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 집합 연산과 기본 함숫값처럼 접근이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 12번에서 합성 그래프가 정리되지 않으면 표시하고 다음 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 객관식 끝의 14·15번에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형 16·18번의 출발점도 확인하세요.

서술·단답형에서는 조건을 식으로 옮기는 시간을 따로 확보해야 합니다. 16번은 치환한 변수가 양수인지와 등호 성립 여부, 17번은 부등식을 나누는 식의 부호, 19번은 이미 사용한 출력의 재사용 여부를 적어 두세요. 시간 제한 연습에서는 계산에 오래 걸렸는지, 경우를 나누는 데 오래 걸렸는지 구별해 기록하세요.

마지막 검토에서는 열린 끝점과 닫힌 끝점을 우선 확인하세요. 7·13번은 부등호와 명제의 방향, 14·20번은 정의역 안의 후보와 치역의 경계가 중요합니다. 21번은 제공 해설이 원본의 경계 표기를 보정해 해석했다고 밝히고 있으므로, 복습할 때 원본과 해설의 전제를 대조하고 표기 차이를 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 같음과 차집합·여집합을 벤 다이어그램과 원소 목록으로 함께 정리하세요. 연산 기호의 순서를 바꾸었을 때 남는 영역을 비교하세요(1·2·5번 대비).
2. 진리집합의 포함 방향부터 필요조건, 대우, 부정을 연결해 복습하세요. 모든·어떤을 바꿀 때 부등호까지 점검하는 연습을 하세요(4·7·8·11·13번 대비).
3. 합성과 역함수의 함숫값을 입력·출력 표로 나타내세요. 반복 합성은 짧은 반복에서 규칙을 찾고 그래프에서는 좌표의 교환을 확인하세요(3·6·9번 대비).
4. 합성 그래프와 역함수 존재 조건을 구간별로 연습하세요. 각 구간의 치역을 적고 일대일성과 공역 전체를 채우는 조건을 따로 검사하세요(12·14·20번 대비).
5. 집합의 개수와 대응을 결합한 경우 분류를 연습하세요. 남은 원소와 이미 사용한 원소를 구별하고, 소수 조건에서는 인수의 양수 여부부터 확인하세요(10·15·18·19번 대비).
6. 최솟값과 유리함수의 범위 문제에서는 양수 조건, 등호 성립, 구간 끝점의 포함 여부를 마지막에 검토하세요. 원본 표기의 전제도 함께 확인하세요(16·17·21번 대비).