문현고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

문현고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 삼각함수와 그 그래프 및 활용, 등차·등비수열, 수열의 합, 수학적귀납법입니다. 도형에서 삼각함수를 쓰는 문제와 수열의 관계를 해석하는 문제를 함께 준비해야 하는 구성입니다.

초반에는 등비수열의 항 사이 비, 합의 기호, 삼각형의 넓이와 사인법칙처럼 개념을 직접 적용하는 문제가 놓여 있습니다. 중반부터는 대각선의 길이를 방정식으로 바꾸거나 좌표로 표현된 길이를 수열의 합과 연결합니다. 익숙한 공식이라도 어느 대상에 적용하는지 정하는 과정이 필요합니다.

후반에는 귀납적으로 정의된 수열의 반복, 부분합의 크기 순서, 외접원의 중심 사이 거리처럼 여러 관계를 연결하는 문항이 등장합니다. 기본형을 안정적으로 처리하고 남은 시간을 조건 해석에 쓰는 전략이 적절합니다. 문항 형식은 자료의 분류를 따르며, 마지막 23번도 객관식으로 확인됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움은 1~7번과 9번입니다. 공비와 공차의 의미, 합의 기호의 범위, 각의 변환 공식을 정확히 알면 접근하기 좋은 구간입니다. 다만 쉬움이라는 분류가 실수 가능성까지 없애 주지는 않습니다. 합의 시작 첨자와 삼각함수의 부호는 짧게라도 검토하세요.

보통은 8·10·11·13·14·15·16·17·21·22·23번입니다. 제한된 구간의 최대·최소, 부분합에서 일반항 복원, 기하와 합 공식의 연결처럼 풀이 단계를 스스로 구성해야 합니다. 서술·단답형 21·22번은 모두 보통으로 분류되어 있으므로, 앞선 어려움 문항에 막혀 뒤쪽을 보지 못하는 상황을 피하세요.

어려움은 12·18·19·20번입니다. 12번은 그래프의 여러 성질을 구분하고, 18·19번은 반복이나 증가·감소 구조를 찾아야 하며, 20번은 원과 삼각형의 관계를 이어야 합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 등차등비수열 중심의 수열과 삼각함수

등차등비수열은 1·6·13·14·19·22번입니다. 기본 일반항과 합에서 시작해 부분합의 차, 항들의 묶음, 부호 조건, 등차중항과 등비중항으로 확장됩니다. 가장 많은 단원이지만 같은 공식만 반복하는 구성이 아니므로, 조건을 첫째항과 공차 또는 공비로 표현하는 연습이 필요합니다.

수열의합은 2·5·7·15·16번, 삼각함수활용은 3·4·10·11·20번입니다. 전자는 합의 기호를 읽는 기본형과 부분분수·좌표 해석을 연결하는 유형이 함께 있습니다. 후자는 넓이와 외접원에서 출발해 대각선, 각의 이등분선, 원의 중심 사이 거리로 이어지므로 도형에 필요한 보조 관계를 표시해 보세요.

삼각함수그래프는 8·12·21번으로, 범위 변환과 대칭을 공통으로 활용합니다. 수학적귀납법은 17·18·23번이며 점화식의 배수성·반복성과 귀납적 증명의 논리를 구별해야 합니다. 9번의 여러 각의 삼각함수 변환은 그래프를 다른 형태로 읽는 데에도 기초가 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 난도 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 관찰 대상을 바꾸어야 한다는 것입니다. 삼각함수 식은 그래프로, 수열의 항은 부분합의 증감으로, 외접원은 중심을 포함한 삼각형으로 옮겨 생각해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번과 9번의 기본형을 정확히 처리하고, 풀이 방향이 보이는 보통 문항을 이어서 풀어 보세요. 12번에서 그래프 검토가 길어지면 표시하고 넘어간 뒤 다시 돌아오는 운영이 좋습니다. 18~20번이 이어진다는 이유로 뒤쪽 전체를 어렵게 예상하지 말고 21~23번까지 확인하세요.

서술·단답형에서는 21번의 대칭축과 직사각형의 가로 길이, 22번의 중항 조건과 근과 계수의 관계를 먼저 적으세요. 결과를 계산하는 시간과 조건을 설명하는 시간을 함께 확보해야 합니다. 23번은 귀납 가정과 새로 더해지는 항의 범위를 구별하고, 부등식에서 등호가 가능한 항과 그렇지 않은 항을 확인하는 연습이 필요합니다.

마지막 검토에서는 2번의 합의 시작·끝 첨자, 8번의 변환된 각의 범위, 14번의 모든 항이 양수라는 조건을 확인하세요. 15번은 첫째항을 별도로 구했는지, 18번은 절댓값을 부호에 맞게 처리했는지 점검해야 합니다. 19번은 부분합의 순서, 20번은 그림에서 각을 읽은 근거까지 돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 일반항과 합 공식을 복습하세요. 등차수열은 항의 차와 첨자의 차를, 등비수열은 항의 비와 첨자의 차를 연결해 설명해 보세요(1·6·13·14번 대비).
2. 합의 기호를 실제 항으로 짧게 펼쳐 보세요. 범위와 상수항의 합을 확인한 뒤, 부분합에서 일반항을 구할 때 첫째항을 따로 점검하는 습관을 들이세요(2·5·7·15번 대비).
3. 삼각함수의 각 변환과 그래프를 함께 복습하세요. 입력 범위의 변환, 대칭축, 끝점과 내부 극값을 차례로 표시한 뒤 교점 문제로 확장하세요(8·9·12·21번 대비).
4. 도형에서는 주어진 각의 대변과 외접원 반지름을 표시하세요. 넓이·사인법칙·코사인법칙을 필요한 관계에 맞게 선택하고 각의 이등분선도 연결해 보세요(3·4·10·11·20번 대비).
5. 점화식은 초반 항을 직접 써 보며 배수성과 반복성을 찾으세요. 반복이 돌아오는 근거를 확인하고 전체 구간과 남는 구간을 나누는 연습을 하세요(17·18번 대비).
6. 조건을 다른 표현으로 옮기는 문제를 묶어 연습하세요. 좌표의 길이는 근과 계수의 관계로, 부분합의 순서는 항의 부호로, 중항 조건은 근의 합과 곱으로 바꾸세요(16·19·22번 대비).
7. 수학적귀납법은 시작 단계와 귀납 가정, 다음 단계의 추가 항을 구분해 써 보세요. 항별 비교를 합쳐 엄격한 부등식이 되는 이유까지 설명하세요(23번 대비).