세화고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

세화고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

세화고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 집합입니다. 유리식 계산과 순열·조합 기호 같은 기본형부터 그래프의 위치 관계, 제한 조건이 붙은 경우의 수까지 다룹니다.

문항 구성의 특징은 객관식과 서술·단답형이 같은 수로 배치되어 있다는 점입니다. 객관식에서 빠르게 개념을 확인하는 데 그치지 않고, 뒤에서는 조건을 어떻게 나누었는지와 얻은 후보가 실제로 가능한지를 스스로 점검해야 합니다. 계산 결과만 맞추는 연습보다 풀이의 출발 근거를 정리하는 연습이 필요합니다.

순열조합은 다양한 소재로 반복되지만 모두 같은 계산법을 쓰지는 않습니다. 함수의 개수, 문자 배열, 자연수 만들기, 도형과 삼각형 세기를 조건별로 구별해야 합니다. 함수 문항 역시 식의 모양을 외우기보다 점근선, 시작점, 증가·감소를 그림과 연결하는 것이 효과적입니다.

난이도 분포 — 어려움은 서술·단답형에 집중

쉬움 문항은 1~4번과 6·7번입니다. 순열·조합의 정의, 합의 법칙, 유리식 연산과 점근선, 무리함수의 최대·최소를 확인합니다. 이 구간은 복잡한 발상보다 기호의 의미와 식 변형의 정확성이 중요하므로, 계산이 짧아도 분모 조건이나 범위의 끝점을 빠뜨리지 마세요.

보통 문항은 객관식 5·8·9번과 서술·단답형 10·12·13·14·17·18번입니다. 사분면 조건을 계수의 부호로 바꾸거나, 이웃하지 않는 조건을 여사건으로 처리하는 등 기본 개념을 상황에 맞게 선택해야 합니다. 서술·단답형 전체를 어려운 구간으로 보고 미루면 풀 수 있는 문제까지 놓칠 수 있습니다.

어려움은 11·15·16번으로, 모두 서술·단답형입니다. 11번은 제곱 전후의 조건, 15번은 자유롭게 선택할 수 있는 원소와 개수가 정해진 원소의 구분, 16번은 그래프의 단조성과 정의역을 함께 봅니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 조건 해석

순열조합은 1·4·8·9·10·12·13·18번에 분포합니다. 단순한 기호 계산부터 합의 법칙과 곱의 법칙의 선택, 조건에 맞지 않는 경우 제외까지 폭이 넓습니다. 특히 순서가 자동으로 정해지는 상황에서 다시 배열을 곱하거나, 서로 겹치는 제외 대상을 단순히 빼는 실수를 경계해야 합니다.

무리함수는 5·7·11·16·17번이며, 그중 11·16번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 정의역과 치역, 그래프의 방향을 읽는 기본기가 직선과의 교점이나 다른 함수와 연결된 최댓값·최솟값으로 확장됩니다. 근호를 없애는 계산을 시작하기 전에 어떤 범위에서 함수가 정의되는지부터 확인하세요.

유리함수는 2·3·6·14번입니다. 점근선을 읽는 기본형이 평행이동과 도형의 길이 관계로 연결됩니다. 집합은 15번만 있지만 어려움으로 분류되어 있으므로 문항 수만 보고 학습에서 제외해서는 안 됩니다. 합집합의 원소 수 조건을 차집합의 선택 조건으로 옮기는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 서술·단답형 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 23문항에서 18문항으로 줄었지만 서술·단답형은 6문항에서 9문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 12문항에서 3문항으로 줄고 쉬움은 2문항에서 6문항으로 늘었으므로, 분류상 구성은 완화되었으나 풀이를 직접 완성하는 준비는 여전히 필요합니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 순열조합이며 문항 수는 13문항에서 8문항으로 줄었습니다. 무리함수는 4문항에서 5문항으로 늘었고 유리함수는 4문항, 집합은 1문항으로 같습니다. 작년에 별도로 있었던 함수 단원은 올해 단원 목록에는 없습니다. 순열조합 중심의 연습에 무리함수의 그래프 해석을 함께 보강하세요.

작년 어려움은 4·7·12·13·14·15·16·19·20·21·22·23번에 분포했으나 올해는 11·15·16번입니다. 올해는 객관식에 어려움 분류가 없고 서술·단답형에서 집중적으로 조건을 연결합니다. 다음 시험 대비에서도 문항 수가 줄었다는 사실만 보기보다, 기본형의 정확성을 확보한 뒤 서술형의 조건 검토를 따로 연습하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 이용자 투표로 정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통된 부담은 계산보다 조건의 재해석에 있습니다. 식을 세운 이유와 후보를 제외한 이유를 함께 적어 보면 풀이의 빈틈을 발견하기 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 순열·조합 기호와 점근선처럼 출발점이 분명한 문제를 먼저 처리하세요. 객관식 5·8·9번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형도 살펴보는 편이 좋습니다. 서술·단답형에는 보통 문항도 있으므로 번호순으로 끝까지 해결해야 한다는 생각으로 시간을 묶어 두지 마세요.

11번에서 제곱과 경우 분류가 길어지거나 16번의 최솟값 구조가 보이지 않으면, 현재까지 확인한 정의역과 부호 조건을 남겨 두고 돌아오세요. 12·13·14·17·18번은 각각 제외할 경우, 등호, 도형 관계, 치역, 삼각형 조건이 출발점입니다. 연습할 때 조건 해석에 쓴 시간과 계산에 쓴 시간을 구분해 기록해 보세요.

마지막 검토는 재계산보다 누락하기 쉬운 조건에 집중하세요. 3번의 나눗셈 가능 조건, 10번의 앞자리와 끝자리 중복, 12번의 제외 대상 중복을 확인하세요. 13·18번에서는 엄격한 부등호와 등호가 허용되는 부분을 구별하고, 11·16·17번에서는 원래 정의역과 치역에 맞는지 되돌아가 점검해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합의 뜻과 합의 법칙부터 정리하세요. 순서가 있는 선택과 없는 선택, 겹치지 않는 경우를 말로 설명해 보세요(1·4번 대비).
2. 유리식 계산과 점근선의 기본형을 복습하세요. 평행이동을 점근선의 교점 이동으로 해석하고 도형의 길이로 연결해 보세요(2·3·6·14번 대비).
3. 무리함수의 시작점, 정의역, 치역과 증가·감소를 함께 그리세요. 제한 구간의 최대·최소에서 합성함수로 확장하세요(5·7·17번 대비).
4. 조건이 붙은 경우의 수를 연습하세요. 고정된 값으로 나누기, 묶기와 여사건, 앞자리 기준 분류를 비교해 보세요(8·9·10번 대비).
5. 중복과 경계 조건을 따로 검사하세요. 다각형이 되지 않는 선택, 등호가 있는 자연수 조건, 삼각형의 가장 긴 변을 기준으로 분류하세요(12·13·18번 대비).
6. 함수의 교점과 집합의 영역 구분을 심화 연습하세요. 정의역과 부호를 먼저 쓰고, 계산 뒤에는 처음 조건으로 후보를 검증하세요(11·15·16번 대비).