보인고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

보인고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 등록 문항 기준으로 삼각함수와 그 활용, 등차·등비수열, 수열의 합, 귀납적으로 정의된 수열과 수학적 귀납법입니다. 객관식 15문항에 서술·단답형 7문항이 이어집니다.

삼각함수활용에서는 코사인법칙만 외워서는 부족합니다. 원에 외접하는 사각형, 외접원, 원뿔의 전개도처럼 상황을 삼각형으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 수열에서도 합과 일반항을 오가거나 새 수열을 정의해 익숙한 구조를 찾아야 합니다.

수학적귀납법으로 분류된 문항을 모두 귀납법 증명 문제로 생각하면 대비 방향이 좁아집니다. 이 분류에는 점화식 해석도 포함되며, 실제 귀납법 증명 과정은 12번에서 확인됩니다. 21번은 별도로 수열이 등차수열임을 논증하는 문항이므로 계산과 설명을 함께 연습하세요.

난이도 분포 — 후반 서술·단답형의 조건 처리

쉬움으로 분류된 1·3번은 점화식의 역산과 로그의 성질을 이용한 합입니다. 초반 보통 문항도 도형 성질이나 식의 변형이 필요하므로, 앞번호라는 이유만으로 단순 대입 문제라고 판단하지 마세요.

객관식의 어려움은 9번의 보조수열, 14번의 중근 조건을 이용한 항의 비, 15번의 부분합 조건 해석에 있습니다. 계산이 이어지지 않을 때는 항을 더 나열하기보다 무엇을 새 변수로 둘지 점검하는 편이 좋습니다.

서술·단답형에서는 16·20번이 보통이고 나머지 17·18·19·21·22번이 어려움입니다. 어려운 문항 사이에 법칙을 순서대로 연결하면 풀리는 문항도 있으므로, 막힌 문항에 머무르지 말고 후반 전체를 먼저 살펴보세요. 이 난이도는 자동 분류 기준입니다.

출제 단원 — 삼각함수활용과 점화식이 중심

삼각함수활용이 가장 많습니다. 2·5·6번은 변의 관계나 최솟값을 코사인법칙으로 연결하고, 11·16·22번은 사인법칙과 원의 성질을 함께 활용합니다. 공식을 외운 뒤에는 적용할 삼각형과 대응하는 변·각을 표시하는 연습이 필요합니다.

수학적귀납법 단원은 기본 점화식부터 보조수열, 항의 비, 첨자의 분기 규칙까지 폭이 넓습니다. 1번의 역산을 출발점으로 9·10·14번의 구조 변형을 익히고, 19번의 여러 조건을 연결하는 연습으로 넘어가세요.

수열의합과 등차등비수열은 단원별 문항 수가 같아도 부담의 성격이 다릅니다. 전자는 합의 정리와 증명, 후자는 부호·자연수 조건 및 최댓값·최솟값 해석이 중요합니다. 삼각함수는 18번만 분류돼 있지만 도형에서 식을 세우는 과정이 있어 빠뜨려서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 서술·단답은 증가

작년과 올해 모두 수학I입니다. 총 문항은 18문항에서 22문항으로, 서술·단답형은 4문항에서 7문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 양쪽 모두 8문항이므로 개수가 늘었다고 볼 수는 없으며, 전체에서 차지하는 비중은 낮아졌습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 삼각함수활용이지만 8문항에서 7문항으로 줄었습니다. 수학적귀납법은 3문항에서 6문항으로 늘고 수열의합은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 따라서 삼각함수활용의 기본기를 유지하면서 점화식 변형을 보강하는 방향이 자료와 맞습니다.

작년 어려움은 5·8·9·10·13·14·16·18번에, 올해는 9·14·15·17·18·19·21·22번에 있습니다. 올해는 서술·단답 구간의 어려움이 더 많이 보이므로, 객관식 풀이만 반복하기보다 조건을 적고 논증을 완성하는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 조건을 정리한 결과가 다음 단계의 출발점이 된다는 공통점이 있습니다. 경계 확인, 일반적인 증명, 각의 전환 근거를 생략하면 계산만으로 오류를 찾기 어렵습니다. 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 풀이 구조를 보고 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·3번의 기본 계산을 확보하고, 보통 문항 중 풀이 방향이 보이는 것을 이어가세요. 9·14·15번에서 구조가 보이지 않으면 표시하고 넘어가 후반의 16·20번까지 확인하는 방식이 좋습니다. 실제 시험 시간 정보는 없으므로 연습 때 구간별 소요 시간을 기록해 자신의 기준을 정하세요.

서술·단답형을 위한 시간은 식을 세우는 시간과 조건을 설명하는 시간까지 포함해 남기세요. 특히 17번은 경우를 나누는 이유, 21번은 모든 자연수에서 성립하는 결론, 22번은 각의 부호를 정하는 근거를 적어야 풀이가 분명해집니다. 중간 계산을 정돈해 두면 다시 돌아왔을 때도 이어 풀기 쉽습니다.

검산에서는 4번의 첫째항, 7번의 자연수 경계, 10번의 등비 관계 시작점, 11번의 가능한 각, 16번의 예각 조건을 확인하세요. 도형의 최댓값·최솟값에서는 등호가 가능한지, 길이 방정식에서는 양수인 후보인지도 점검해야 합니다. 계산을 다시 반복하기보다 사용한 조건에 표시하는 검산을 권합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 점화식과 합의 변환부터 점검하세요. 역산, 로그의 합, 합의 차로 일반항 찾기를 묶어 연습하고 첫째항 예외를 확인하세요(1·3·4번 대비).
2. 삼각형의 대응 변과 각을 표시하며 사인법칙·코사인법칙을 선택하세요. 외접원, 접선 길이, 전개도를 삼각형으로 옮기는 연습까지 이어가세요(2·5·6·11·16·20·22번 대비).
3. 수열에 새 변수를 도입하는 연습을 하세요. 부분합, 보조수열, 이웃한 항의 비 중 무엇이 단순해지는지 비교하고 관계의 시작 첨자를 적으세요(7·9·10·14번 대비).
4. 부호와 정수 조건을 표로 나누세요. 절댓값, 부분합의 증감, 부호 경계에서 성립하는 식을 구분해 후보의 적합성을 확인하세요(13·15·17번 대비).
5. 합 공식과 증명을 연결하세요. 좌표에서 만든 수열, 귀납가정의 적용, 가중된 합을 정리한 뒤 일반적인 결론을 문장으로 적으세요(8·12·21번 대비).
6. 도형의 최적화와 첨자 분기를 따로 복습한 뒤 전체를 시간 내에 풀어 보세요. 막힌 원인이 식 세우기인지 조건 누락인지 구분하고 해당 단계부터 다시 설명하세요(18·19번 대비).