잠실여자고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

잠실여자고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

잠실여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 삼각함수활용, 등차등비수열, 수학적귀납법, 수열의합입니다. 삼각형의 변과 각의 관계에서 출발해 수열의 일반항과 합, 귀납적 정의와 증명의 논리까지 확인하는 시험입니다.

삼각함수에서는 사인법칙과 코사인법칙 중 무엇을 먼저 쓸지 판단해야 합니다. 넓이를 분할하는 2번, 내접사각형의 각 관계를 쓰는 8번처럼 도형의 성질을 먼저 읽어야 식이 단순해지는 문항이 있습니다. 공식 암기와 별도로 그림에서 필요한 삼각형을 골라내는 연습이 필요합니다.

수열에서는 항의 관계를 일반항으로 옮기는 능력과 합을 다시 정리하는 능력이 함께 요구됩니다. 17·18번처럼 복리나 접하는 원의 배열을 등비수열로 해석하는 문항도 있습니다. 익숙한 식이 바로 보이지 않아도 일정한 비율이나 연속한 합의 차이를 찾아보는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반의 구조 변환에 대비

자동 분류 기준 쉬움은 1·3·7·16번입니다. 외접원과 넓이, 점화식의 순차 대입, 변의 비를 활용한 법칙 적용처럼 출발점이 비교적 분명합니다. 다만 3번의 각의 범위나 16번의 각과 대변 대응을 놓치면 기본형에서도 실수가 생길 수 있습니다.

보통 문항은 시험의 중심을 이룹니다. 등비수열과 로그를 연결하는 5번, 항의 부호로 합의 최대를 판단하는 9번, 부분분수로 합을 정리하는 13·15번 등 접근법의 선택이 다양합니다. 한 문항에서 계산이 길어진다면 무조건 전개하기보다 합이나 비율로 바꿀 여지가 있는지 점검하세요.

어려움은 객관식 14·21번과 서술·단답형 20번입니다. 14번 다음에는 보통인 15번과 쉬움인 16번이 이어지므로 막힌 문항을 붙들고 뒤를 보지 않는 운영은 피하세요. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 삼각함수활용의 비중과 수열의 다양한 표현

삼각함수활용은 1·2·3·4·8·12·16·21번입니다. 외접원, 넓이, 삼각형의 모양 판별, 내접사각형, 닮음 등 서로 다른 도형 상황에서 같은 법칙을 활용합니다. 길이를 묻는다고 곧바로 코사인법칙을 쓰기보다 알려진 각과 변의 대응을 확인한 뒤 풀이 순서를 정하세요.

등차등비수열은 5·6·9·10·11·17·18번입니다. 일반항과 합의 공식뿐 아니라 부호, 자연수 조건, 적립 시점, 도형에서 일정한 비율을 찾는 과정이 중요합니다. 특히 10번은 등차수열의 항들이 등비수열을 이루는 조건을 번역해야 하므로 두 수열의 성질을 구분해서 사용해야 합니다.

수열의합에서는 부분분수와 가중치가 붙은 차의 합을 다룹니다. 수학적귀납법으로 분류된 문항도 모두 증명 문제인 것은 아닙니다. 7·14번은 귀납적으로 정의된 수열이고 19번은 등식 증명의 흐름을 확인합니다. 단원명만 보고 풀이 방법을 고정하지 말고 실제 조건의 형태를 먼저 읽으세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 삼각함수활용의 비중은 확대

작년과 올해는 모두 수학I입니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 3문항으로 줄었고 보통은 10문항에서 14문항으로 늘었습니다. 서술·단답형은 4문항에서 5문항으로 늘어, 어려움 문항 수가 줄었다는 사실만으로 풀이 기록에 필요한 부담까지 작아졌다고 보기는 어렵습니다.

삼각함수활용은 작년 5문항에서 올해 8문항으로, 등차등비수열은 6문항에서 7문항으로 늘었습니다. 수열의합은 5문항에서 3문항으로, 수학적귀납법은 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 작년에는 등차등비수열이 가장 많았지만 올해는 삼각함수활용이 가장 많으므로 도형의 각 관계와 법칙 선택을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 9·12·13·14·17·18·20번에 분포했고 올해는 14·20·21번입니다. 올해는 앞부분의 기본·보통 문항을 안정적으로 처리하고 끝부분의 구조 해석에 시간을 남기는 운영이 중요합니다. 다만 다음 시험을 준비할 때는 올해의 개수만 따라 범위를 좁히지 말고 수열의 합과 귀납적 정의도 함께 복습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 풀이 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 표현을 그대로 계산하기보다 필요한 항의 경로, 같은 항의 계수, 삼각형의 대응 관계로 바꾸어야 한다는 것입니다. 연습 뒤에는 계산식보다 접근법을 선택한 이유를 짧게 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 출발점이 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 14번의 점화식에서 경로가 보이지 않으면 표시하고 15·16번으로 이동할 수 있습니다. 21번도 자료상 객관식이므로 서술·단답형 뒤의 별도 검토 대상으로 남겨 두고, 시험지 전체를 끝까지 확인하는 습관을 들이세요.

서술·단답형은 계산 전 조건을 간단히 정리하면 실수를 줄일 수 있습니다. 17번은 매년 초 적립한다는 사실을 시간선에 표시하고 각 적립금의 이자 적용 기간을 구분하세요. 18번은 접선에 내린 수선과 원의 중심 사이 거리를 그림에 표시하고, 19번은 귀납 가정에서 다음 단계로 넘어갈 때 새로 곱하는 인수를 구분하세요.

마지막 검토는 조건과 경계를 중심으로 하세요. 10·11번은 자연수 조건과 부호 구간, 14번은 첫째항의 범위, 15번은 첫 항의 별도 확인이 중요합니다. 20번은 끝 항의 부호와 계수, 21번은 닮음의 대응을 확인하세요. 연습에서는 조건 해석과 계산에 쓴 시간을 나누어 기록해 자신이 오래 멈추는 단계를 찾으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 사인법칙과 코사인법칙의 적용 조건부터 정리하세요. 각과 대변을 표시하고 외접원·넓이·변의 비 문제로 기본 계산을 확인하세요(1·3·4·16번 대비).
2. 도형의 성질과 삼각함수 공식을 연결하세요. 넓이 분할, 내접사각형의 대각, 직각삼각형, 닮음을 그림에서 먼저 찾는 연습을 하세요(2·8·12·21번 대비).
3. 등차·등비수열의 항 관계를 일반항으로 바꾸세요. 로그는 항의 비로, 합의 차는 연속한 항으로 옮기고 부호와 자연수 조건을 점검하세요(5·6·9·10·11번 대비).
4. 등비수열의 합을 실제 상황에 적용하세요. 복리의 시간선을 그리고, 접하는 원에서는 반지름의 비가 일정해지는 이유를 설명해 보세요(17·18번 대비).
5. 합의 구조를 변형하는 유형을 묶어 연습하세요. 부분분수, 연속한 합의 차, 같은 항끼리 모으기를 구분하고 첫 항과 끝 항을 따로 확인하세요(13·15·20번 대비).
6. 귀납적 정의와 귀납법 증명을 구분해 복습하세요. 항을 구할 때는 지표의 경로를, 증명할 때는 시작 단계·가정·다음 단계의 연결을 적으세요(7·14·19번 대비).