보인고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

보인고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 삼각함수활용, 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 삼각형의 넓이와 사인·코사인법칙부터 수열의 합과 귀납적 정의까지 연결되는 시험입니다.

삼각함수활용은 공식을 바로 적용하는 문항과 원에 내접한 도형의 관계를 먼저 찾아야 하는 문항이 함께 나옵니다. 같은 코사인법칙을 사용하더라도 어느 삼각형을 선택하고 어떤 각을 공유하는지에 따라 풀이 길이가 달라집니다. 길이 계산에 앞서 원주각과 보각 관계를 표시하는 습관이 필요합니다.

수열은 일반항과 합 공식을 아는 데서 그치지 않습니다. 절댓값으로 가려진 부호를 나누거나, 합으로 주어진 조건에서 이웃한 식을 빼거나, 첨자에 따라 항을 묶는 방식이 요구됩니다. 서술·단답형에는 합 계산과 귀납법 증명이 포함되므로 식을 얻은 이유까지 설명하는 연습을 권합니다.

난이도 분포 — 중반의 연속된 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·4번은 수열의 용어와 도형 넓이의 기본을 확인합니다. 보통인 3·5·6·7·10번에서도 공비에 따른 합의 이동, 도형 반복의 넓이 변화, 원에 내접한 각의 관계를 읽어야 합니다. 공식을 기억하는 것과 조건에 맞게 선택하는 것을 함께 점검하세요.

8·9번 뒤에는 10번이 보통으로 분류되어 있고, 11~15번에는 어려움 문항이 이어집니다. 이 구간은 반복되는 숫자를 일반항으로 바꾸는 발상, 절댓값의 부호 분류, 도형의 닮음, 귀납적 정의의 경우 나누기 등 출발점이 다양합니다. 한 문항에서 접근이 막히면 표시하고 다른 구조의 문항으로 넘어가는 운영이 필요합니다.

18~20번도 어려움으로 분류되지만 마지막 21번은 보통입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감이나 문항 사이의 확정적인 순위를 뜻하지 않습니다. 특히 귀납법 증명에 익숙한 학생은 후반에서도 접근 가능한 문항을 확보할 수 있으므로 전체 시험지를 먼저 훑어보세요.

출제 단원 — 삼각함수활용과 수열의 구조

가장 많은 삼각함수활용은 2·4번의 넓이에서 7·8·9·13·18번의 복합 도형으로 확장됩니다. 원에 내접한 사각형에서 보각을 찾고 닮음으로 길이를 연결한 뒤 넓이나 외접원의 반지름으로 마무리하는 흐름이 중요합니다. 공식을 따로 외우기보다 앞 단계에서 얻은 정보가 다음 삼각형의 어떤 조건이 되는지 설명해 보세요.

등차등비수열에서는 항과 합의 관계뿐 아니라 반복 도형과 자리값 표현도 다룹니다. 12번은 절댓값 조건을 부호로 해석하는 점이 핵심입니다. 수열의합으로 분류된 10·16번은 각각 부분분수와 합의 지표 변경을 활용하므로 항을 일일이 계산하는 습관을 줄이는 데 적합합니다.

수학적귀납법 단원에는 17·21번의 증명뿐 아니라 14·15·19·20번의 귀납적으로 정의된 수열이 포함되어 있습니다. 단원명만 보고 모든 문제가 증명형이라고 생각하면 준비가 좁아집니다. 조건을 만족하는 항을 역으로 찾기, 합의 차로 점화식 얻기, 첨자의 구간을 묶어 합 구하기를 구별해서 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 증가와 서술·단답형 감소

작년과 올해 모두 수학I입니다. 총 문항은 22문항에서 21문항으로, 서술·단답형은 7문항에서 4문항으로 줄었습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 10문항으로 늘고 보통은 12문항에서 8문항으로 줄었습니다. 서술·단답형 수가 감소했다는 사실만으로 전체 풀이 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다.

삼각함수활용은 두 해 모두 7문항이며 수학적귀납법도 6문항으로 같습니다. 등차등비수열은 4문항에서 6문항으로 늘고 수열의합은 4문항에서 2문항으로 줄었습니다. 작년의 삼각함수 단원은 올해 분류에 없지만, 이를 근거로 다음 시험의 범위를 예측하지 말고 이번 범위에서 확인된 수열 조건 해석을 보완하세요.

작년의 어려움 문항은 9·14·15·17·18·19·21·22번이었고 올해는 8·9번부터 등장해 11~15번에 이어집니다. 후반에만 시간을 남기는 전략보다 중반에서 멈출 문항을 정하는 연습이 필요합니다. 합 공식의 반복 적용과 함께 절댓값 분류 및 귀납적 정의의 규칙 변환을 준비하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산할 대상을 먼저 재구성해야 합니다. 12번은 부호별 항, 18번은 대응되는 도형, 20번은 첨자의 구간을 정리한 뒤 계산을 시작하는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 구조가 보이는 문항을 먼저 풀고, 8·9번에서 각의 관계가 바로 잡히지 않으면 표시하고 넘어가세요. 11~15번의 연속된 어려움 문항에서 시간을 모두 쓰기 전에 16·17번을 확인하는 편이 좋습니다. 연습할 때는 문제를 읽는 시간과 풀이를 시작하는 데 걸린 시간을 구분해 기록하세요.

서술·단답형은 마지막에 몰아서 보지 마세요. 16번은 식의 모양을 바꾸면 계산을 줄일 수 있고 17·21번은 귀납법의 논리 흐름을 알고 있으면 접근할 수 있습니다. 21번에서는 첫 단계 확인, 귀납가정, 다음 항을 더한 식, 다음 단계와의 일치까지 답안에 연결해 쓰는 시간을 남겨 두세요.

검토할 때는 계산 전체를 다시 하기보다 조건을 점검하세요. 도형에서는 길이의 양수 조건과 보각의 부호, 닮음의 대응을 확인해야 합니다. 수열에서는 10·15·19번의 첫째항과 적용 범위, 12번의 부호 경계, 14번의 배수 조건, 20번의 합 구간을 확인하면 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수열의 용어와 등차중항, 등비수열의 일반항·합을 복습하세요. 첨자가 이동할 때 항과 합이 어떻게 바뀌는지 말로 설명해 보세요(1·3·6번 대비).
2. 반복 도형과 반복 숫자를 수열로 표현하세요. 도형 개수와 넓이 비를 분리하고 자리값을 등비수열의 합으로 바꾸세요(5·11번 대비).
3. 사인법칙·코사인법칙과 넓이 공식을 기본 도형부터 연결하세요. 원주각과 보각을 표시한 뒤 사용할 삼각형을 선택하세요(2·4·7·8·9번 대비).
4. 넓이 비에서 닮음비로 옮기는 연습을 하고 각의 이등분선이 있는 복합 도형으로 확장하세요. 비례식마다 대응변을 적어 보세요(13·18번 대비).
5. 합의 차, 부분분수, 지표 변경을 익히세요. 첫째항의 예외와 절댓값의 부호 경계를 별도 항목으로 검토하세요(10·12·15·16·19번 대비).
6. 귀납적 정의와 귀납법 증명을 나누어 연습하세요. 배수 조건의 역산과 첨자 구간의 합을 정리한 뒤 증명에서 가정을 적용하는 줄을 직접 써 보세요(14·17·20·21번 대비).