무학여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

무학여고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

무학여자고등학교는 서울 성동구에 있습니다. 이 시험은 도함수의 활용을 중심으로 미분계수와 도함수, 부정적분, 정적분과 그 활용을 다룹니다. 함수의 증감과 극값에서 출발해 방정식의 실근, 도형의 최적화, 넓이와 이동 거리로 개념이 확장됩니다.

자동 분류 기준으로 초반부터 어려움 문항이 섞여 있습니다. 미분해서 임계점을 찾는 데서 끝내지 않고, 매개변수에 따라 극점의 순서나 구간 안의 위치가 달라지는지 살펴야 합니다. 적분에서도 절댓값을 해제할 기준과 위아래 함수의 관계를 먼저 잡아야 계산이 안정됩니다.

서술·단답형은 도함수 활용의 21·22번 뒤에 부정적분과 정적분의 23·24번이 이어집니다. 마지막 문항일수록 어렵다고 생각해 뒤를 통째로 미루기보다, 각 문항에서 필요한 조건과 풀이 길이를 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 부호와 그래프 해석

자동 분류 기준 쉬움인 3번은 도함수의 부호 변화와 판별식을, 10번은 속도의 부호 변화와 가속도를 확인합니다. 개념을 바로 적용할 수 있는 문항이지만, 도함수가 영이 되는 것과 극값 또는 운동 방향 변화가 생기는 것을 구별해야 합니다.

보통 문항은 1·4번뿐 아니라 적분 구간과 후반 서술·단답형에도 분포합니다. 11~13번에서는 도함수의 정의, 상수로 취급할 정적분, 적분 구간의 분할을 정확히 쓰는 것이 중요합니다. 23·24번까지 확인해 기본 개념으로 해결할 문항을 먼저 확보하세요.

어려움 문항은 5~9번과 14~16번처럼 연속해서 배치됩니다. 전자는 최적화와 실근 조건, 후자는 적분으로 정의된 함수의 처리라는 공통 과제가 있습니다. 앞 문항에서 시간이 걸렸더라도 다음 문항의 접근법을 별도로 판단해야 합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 절반을 차지

도함수의활용은 총 24문항 가운데 12문항입니다. 증가·감소와 극값 판정, 그래프와 실근의 관계, 도형의 최대·최소가 함께 나왔습니다. 도함수의 인수분해를 마친 뒤 원래 함수의 그래프로 돌아가 조건을 설명하는 연습이 필요합니다.

정적분에서는 상수 구간 적분을 미지수로 두는 유형과 변수 끝점을 가진 적분을 미분하는 유형이 구분됩니다. 14~16번은 미분과 적분을 연결하면서 절댓값이나 움직이는 구간까지 처리해야 합니다. 정적분의활용에서는 넓이의 부호, 합의 소거 구조, 속도와 이동 거리의 관계를 점검하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역에서의 문항 구성

같은 연도·학년·학기·시험·과목을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 무학여고의 문항 수는 24문항으로 이웃 학교 평균 21.1문항보다 많습니다. 서술·단답형은 4문항으로 평균 3.4문항보다 많아, 전체 문항을 살펴보고 답안 작성 시간을 남기는 운영이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 54%로 이웃 학교 평균 46%보다 높고, 11개교 중 3위입니다. 가장 많은 단원은 진선여자고등학교의 정적분을 제외하면 도함수의활용입니다. 무학여고 학생은 도함수 활용의 기본 계산을 익힌 뒤, 매개변수에 따른 그래프 해석과 적분으로 정의된 함수의 증감을 연결하는 연습에 힘을 실으세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 조건을 식으로 바꾼 뒤 다시 그래프나 원래 등식으로 돌아가 확인해야 합니다. 계산 도중 사라진 조건을 따로 적어 두고 최종 후보에 적용하는 습관을 들이세요. 자동 분류 기준 어려움 문항 가운데 조건 연결이 복합적인 사례를 고른 것입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음부터 어려움 문항이 나오므로 번호 순서만 고집하지 마세요. 2번이나 6번에서 접근이 잡히지 않으면 표시하고, 3·10번과 풀이 구조가 익숙한 보통 문항을 먼저 처리하세요. 서술·단답형 23·24번도 미리 확인해 뒤쪽 문항을 남긴 채 시간이 끝나지 않도록 하세요.

최대·최소에서는 도함수가 영인 점을 찾기 전에 정의역을 적으세요. 5번은 극소점이 닫힌구간에 들어오는지, 6·22번은 도형이 성립하는 범위인지가 중요합니다. 7·8번에서는 중근이나 세로축 위의 교점이 실근의 개수와 부호 조건을 바꾸는 경계인지 살피세요.

적분 문항은 절댓값의 기준점과 끝점의 움직임을 먼저 표시하세요. 15번은 원래 함수와 도함수 중 최소를 묻는 대상을, 18번은 적분 방향을 특히 점검해야 합니다. 서술 답안에는 변수 범위, 경우를 나눈 이유, 최대·최소의 근거를 남기고 마지막에 요구한 대상과 단위를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 증감과 극값의 기본 판정부터 익히세요. 도함수의 영점과 부호 변화를 구별하고 판별식의 경계를 확인합니다(1·3·4번 대비).
2. 극값과 실근 조건을 그래프로 연결하세요. 수평선의 높이, 세로축과의 교점, 중근을 표시하며 매개변수 범위를 판단합니다(2·7·8·21번 대비).
3. 최적화는 정의역과 변수 통일부터 연습하세요. 닮음이나 좌표로 길이와 넓이를 나타낸 뒤 임계점과 경계를 비교합니다(5·6·9·22번 대비).
4. 적분 등식은 상수 구간과 변수 구간을 나누어 익히세요. 상수로 치환하기, 구간 분할하기, 미분 후 원래 조건 복원하기를 순서대로 연습합니다(11·12·13·14번 대비).
5. 절댓값 적분과 넓이에서는 부호표를 먼저 그리세요. 움직이는 구간과 대칭인 끝점도 함께 다뤄 봅니다(15·16·17·18번 대비).
6. 넓이의 합과 운동 문제를 정리한 뒤 서술 답안을 점검하세요. 합의 소거 구조, 속도 부호, 적분상수와 매개변수의 역할을 설명하는 연습을 합니다(10·19·20·23·24번 대비).