경기여자고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

경기여고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

경기여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 극값과 최대·최소뿐 아니라 넓이, 운동, 적분으로 정의된 함수까지 함께 다룹니다.

초반에는 접선의 기울기에서 원함수 복원하기, 극값 계산하기, 적분식 정리하기 등 기본 절차를 점검합니다. 중반부터는 극한 조건을 그래프의 위치와 기울기로 번역하거나, 실생활 상황에서 변수를 정해 최대·최소 문제를 만드는 해석이 필요합니다.

후반의 부담은 단순한 계산량보다 조건을 적용하는 순서에 있습니다. 움직이는 구간의 최댓값, 역함수와 직선의 교점, 중근과 공통근을 함께 다루므로 식을 세우기 전에 무엇을 나눠 살펴볼지 정리해야 합니다. 서술·단답형도 앞부분과 뒷부분의 풀이 부담을 구별해 접근하세요.

난이도 분포 — 후반에 집중된 어려움 문항

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~4번과 16·17번은 기본 개념을 정확히 적용하는 구간입니다. 적분상수를 결정하는 조건, 넓이의 부호, 평균값 정리를 적용하는 구간을 빠뜨리지 않는다면 후반에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 구간인 5~8번과 11번에서는 표현을 바꾸는 능력이 필요합니다. 극한을 미분계수로 읽거나, 항상 성립하는 부등식을 함수의 최댓값으로 바꾸는 과정에서 풀이 방향이 결정됩니다. 바로 전개하기보다 주어진 조건의 의미를 먼저 적어 보세요.

어려움은 9·10번부터 나타나며 12~15번과 18~20번에 이어집니다. 특히 후반 서술·단답형은 경우 나누기와 예외 확인까지 필요합니다. 번호순으로만 풀면 쉬움으로 분류된 16·17번을 볼 시간이 줄어들 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 중심에 적분 해석 결합

도함수의 활용은 극값 계산부터 부등식, 입체의 부피, 평균값 정리, 역함수, 교점 개수까지 폭이 넓습니다. 같은 단원이라도 도함수를 구한 뒤 끝나는 문제가 아니므로 증가·감소표를 어떤 조건에 사용할지 설명하는 연습이 필요합니다.

정적분에서는 적분 계산 자체보다 미분과의 연결이 중요합니다. 9번은 짧아지는 적분 구간을 극한으로 해석하고, 14번은 원래 함수의 부호로 누적 적분 함수의 증감을 판단하며, 19번은 적분 등식을 미분해 함수를 복원합니다.

정적분의 활용은 넓이와 운동으로 나뉩니다. 8·16번에서는 축과의 위치 및 위아래 곡선을 확인하고, 10·12번에서는 위치·속도·가속도의 관계와 시간 기준을 구분해야 합니다. 계산 연습과 함께 그림에 구간을 표시하는 습관을 들이세요.

문항별 정리

난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 접근과 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 보통 구간이 줄고 어려움 구간 확대

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 쉬움과 서술·단답형 문항 수는 같지만, 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 총 문항 수가 줄었다는 이유만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 보기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 도함수의 활용입니다. 다만 작년보다 해당 단원 문항 수가 줄고, 정적분은 3문항에서 4문항, 정적분의 활용은 3문항에서 4문항, 부정적분은 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 도함수의 활용에 우선순위를 두되 적분 단원의 준비도 함께 강화할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 13·14·15·19·21번에 있었고, 올해는 9·10번부터 등장합니다. 서술·단답형에서도 올해는 18~20번에 어려움이 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때에는 앞선 어려움 문항을 잠시 넘긴 뒤 기본 문항을 먼저 확보하는 순서까지 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 경우를 구분하고, 계산 후에는 각 경우의 범위와 중복 여부를 확인해야 한다는 것입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 준비할 사고 과정을 보여 주는 사례입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~4번의 기본 계산과 16·17번의 서술·단답형을 확인하고, 5~8번 및 11번으로 이어 가는 풀이 순서를 연습해 보세요. 9·10번이나 12~15번에서 접근이 잡히지 않으면 필요한 그래프와 조건만 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보는 편이 좋습니다. 시험 시간 정보가 없으므로 실제 연습에서는 본인의 풀이 기록을 바탕으로 배분을 조정하세요.

계산 전에 확인할 것은 부호와 정의역입니다. 7번은 상자가 성립하는 높이의 범위, 8·16번은 넓이의 적분 구간, 12번은 서로 다른 출발 시점을 같은 기준으로 바꾸는 과정이 중요합니다. 13번에서는 도함수가 영이 되는 것과 부호가 바뀌는 것을 구분하고, 17번에서는 구한 후보가 열린구간에 있는지 확인하세요.

마지막 검토에서는 18번의 치환 구간, 19번의 나눗셈에서 제외한 점, 20번의 중복근을 우선 점검하세요. 서술·단답형 답안에는 단조성의 근거, 경우를 나눈 기준, 제외한 점의 처리 과정을 남기세요. 긴 전개를 다시 읽기보다 조건을 누락한 부분이 없는지 확인하는 데 검토 시간을 쓰는 것이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계를 정리하세요. 접선의 기울기나 최솟값 조건으로 적분상수를 결정하고, 다항식 항등식에서는 차수부터 판단합니다(1·4·11번 대비).
2. 도함수 부호표를 기본으로 익히세요. 극값, 항상 성립하는 부등식, 실생활 최대·최소에서 정의역과 전체 최댓값을 함께 확인합니다(2·6·7번 대비).
3. 미분계수와 평균값 정리를 그래프 언어로 설명하세요. 극한식을 점의 위치와 접선 기울기로 바꾸고, 도함수의 영점에서 부호 변화까지 살펴봅니다(5·13·17번 대비).
4. 정적분의 부호와 누적량을 연결하세요. 넓이는 구간별로 나누고, 적분으로 정의된 함수는 미분해서 증감을 판단합니다(3·8·9·14·16·19번 대비).
5. 운동 문제의 표를 만드세요. 각 점의 출발 시점, 초기 위치, 속도, 위치를 같은 시간 기준으로 정리한 뒤 이동 거리와 위치 차이를 구분합니다(10·12번 대비).
6. 그래프 조건을 경우별로 정리하세요. 이동 구간의 최댓값, 역함수 조건, 서로 다른 교점 개수를 나누어 풀고 마지막에 경계와 중복을 검토합니다(15·18·20번 대비).