반포고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

반포고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

반포고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증감과 극값에서 접선, 운동, 넓이까지 연결되므로 미분과 적분을 따로 암기하는 것만으로는 충분하지 않습니다.

미분 문항에서는 도함수를 구하는 계산보다 그 결과를 원래 조건으로 되돌리는 과정이 중요합니다. 증가 조건은 도함수의 부호로, 실근 개수는 그래프의 교점으로, 접한다는 조건은 두 함수의 차의 중근으로 해석합니다. 같은 계산 결과도 무엇을 세고 비교하는지에 따라 쓰임이 달라집니다.

적분에서는 변수인 끝점과 고정된 적분구간을 구별해야 합니다. 서술·단답형에는 운동과 부피의 최적화, 절댓값 함수의 극한, 정리의 적용 조건, 접선과 곡선 사이의 넓이가 포함됩니다. 계산 과정뿐 아니라 구간을 나누거나 정리를 적용하는 이유를 짧게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 조건 결합

쉬움으로 분류된 1·7번은 미분과 적분의 기본 관계를 확인합니다. 보통 문항인 2~5번은 최댓값·최솟값, 평균변화율과 접선 기울기, 증가 조건, 닮음과 변화율을 다룹니다. 익숙한 유형이어도 끝점 비교나 허용 범위 확인을 생략하면 풀이가 흔들릴 수 있습니다.

6번에서 어려움이 등장한 뒤 7번은 쉬움으로 돌아오고, 8·9번에서 다시 어려움이 이어집니다. 번호 순서가 난이도 순서는 아닙니다. 13~16번은 교점의 중복, 적분으로 정의된 함수의 부호, 매개변수와 최솟값, 접선의 중근 조건을 연결해야 하므로 풀이의 출발점을 정하는 부담이 큽니다.

서술·단답형은 17·18·21·22번이 보통이고 19·20번이 어려움입니다. 후반에도 접근 가능한 문항이 있으므로 객관식의 막힌 문제에 시간을 모두 쓰지 않도록 하세요. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 개인별 체감 난도는 그래프와 논증 유형에 익숙한 정도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심

도함수의활용은 전체의 중심이며 유형도 넓습니다. 2·4·15·17번의 증감과 극값, 3·13·16번의 기울기와 접선, 5·12번의 운동 상황, 19번의 부피 최적화로 이어집니다. 공통적으로 도함수를 구한 뒤 부호표나 그래프를 이용해 원래 조건을 해석하는 단계가 필요합니다.

정적분은 문항 수만 보고 비중을 가볍게 잡기 어렵습니다. 1번은 적분구간의 끝점에 대입하는 기본형이지만, 8번은 고정 구간의 적분값을 상수로 처리하고 9번은 적분 등식을 미분해 함수를 복원합니다. 14번은 적분으로 정의된 함수와 도함수의 부호를 함께 다루므로 같은 단원 안에서도 접근법이 달라집니다.

정적분의활용에서는 10·22번이 넓이, 18번이 운동을 다룹니다. 경계가 바뀌는 위치와 속도의 부호가 바뀌는 시각을 먼저 표시하는 습관이 두 유형에 공통으로 쓰입니다. 부정적분의 7번은 적분상수를 확인하는 출발점이며, 함수 복원 문제를 풀기 전 반드시 점검할 기본입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 식을 차이 함수로 바꾸고 특별한 지점을 따로 검사한다는 데 있습니다. 인수분해와 미분 결과를 얻은 뒤 원래 교점·접선·거리 조건으로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 판단이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 6번에서 그래프 경우 나누기가 길어지더라도 7번을 확인하고, 8·9번이 막히면 10~12번으로 넘어갈 수 있어야 합니다. 객관식 후반의 어려움 문항을 모두 끝내기 전에 서술·단답형의 접근 가능한 소문항도 살펴보세요.

서술·단답형에서는 계산의 출발식을 남기는 습관이 필요합니다. 18번은 위치와 이동거리를 구별하고, 19번은 도형 조건과 변수의 범위를 먼저 적으세요. 21번은 정리의 가정을, 22번은 경계가 달라지는 구간을 써 두면 계산을 이어 가거나 검토할 때 도움이 됩니다.

마지막 점검은 계산을 반복하기보다 조건 누락에 집중하세요. 2번은 구간 끝점, 9번은 나눗셈에서 제외한 지점, 13번은 근의 중복, 14번은 도함수의 좌우 부호를 확인하세요. 20번은 차이가 사라지는 경계도 조사했는지 살피고, 넓이와 이동거리에서는 부호 처리와 적분구간을 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 정리하세요. 적분상수와 끝점 대입을 함께 확인하고 함수 복원 문제로 이어 가세요(1·7·9번 대비).
2. 증감표로 극값과 최댓값·최솟값을 구별하세요. 경계의 함숫값과 매개변수의 허용 범위를 확인하는 연습을 하세요(2·4·15·17번 대비).
3. 정의와 정리의 적용 조건을 문장으로 설명하세요. 반례를 드는 연습과 원시함수에 롤의 정리를 적용하는 논증을 함께 복습하세요(3·11·21번 대비).
4. 두 함수의 차를 만들어 접점과 교점을 해석하세요. 대칭성, 중근, 공통근을 스케치와 인수분해로 교차 확인하세요(6·13·16번 대비).
5. 적분식에서는 고정된 값과 변수를 구별하세요. 적분값의 상수 치환과 미분 후 부호표 작성을 차례로 연습하세요(8·9·14번 대비).
6. 운동과 도형 조건을 한 변수의 식으로 바꾸세요. 거리의 기준점, 지름과 반지름, 속도 부호, 구간별 경계를 표시하세요(5·10·12·18·19·22번 대비).
7. 절댓값이 있는 함수는 경계부터 분류하세요. 매끄러운 부분의 미분과 경계의 좌우 극한을 나누어 작성하세요(20번 대비).